三重积分计算器
三重积分用于度量分布在三维区域中的量：体积、由密度函数得到的质量，或 ∭f(x,y,z) dV 形式的累积量。此计算器会在浏览器中，对 x、y、z 的数值长方体边界使用中点法给出近似值，适合快速校验、课堂示例和盒状区域。
如何近似三重积分
-
1
输入 f(x,y,z)
使用计算器语法，例如 x*y*z、x^2+y^2+z^2 或 sin(x)*cos(y)。
-
2
设置数值边界
填写 x、y、z 的最小值和最大值。工具会计算 xyz 空间中的一个长方体区域。
-
3
选择每轴步数
滑块为每个坐标轴设置 n 个分段，因此估算会使用 n³ 个中点样本。
-
4
计算中点估计值
每个小长方体在中心取样，并乘以体积元素 ΔxΔyΔz。
-
5
细化并检查
增加步数，并与简单案例或可用的符号结果进行比较。
这个计算器实际计算什么
| 输入 | 使用方式 | 实用说明 |
|---|---|---|
f(x,y,z) |
在每个中点处取样的函数值 | 光滑函数通常比尖峰或不连续函数更可预测地收敛 |
x min/max、y min/max、z min/max |
数值长方体边界 | 边界可以为负；交换最小值和最大值会改变该轴的符号 |
| 每轴步数 | 每个维度的切分数量 | 计算量按 n³ 增长，因此 60 步意味着 216,000 次函数求值 |
这是数值计算器，不是符号积分器。它不会求原函数，也不会为球坐标或柱坐标推导新的积分边界。如果你的区域是球、圆锥或其他曲面实体，请先把问题改写成这种长方体中点法能够采样的边界和被积函数，或使用支持三重积分的符号计算流程。
常见用途
- 检查体积：在一个盒状区域上使用
f(x,y,z) = 1来确认体积。 - 估算质量：输入密度函数 ρ(x,y,z)，并在数值边界上积分。
- 平均值：用积分估计值除以长方体体积。
- 数值验证：将手算或教材答案与快速计算估计值进行比较。
坐标系和体积元素
| 坐标系 | 常见体积元素 | 在这里要记住 |
|---|---|---|
| 笛卡尔坐标 | dx dy dz | 直接对应此计算器的 x/y/z 边界 |
| 柱坐标 | r dr dθ dz | 适合轴对称区域，但因子 r 必须包含在变换后的被积函数中 |
| 球坐标 | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | 适合球体和球壳，但需要变换后的边界和雅可比因子 |
界面只接受 x、y、z 的数值范围。坐标系思想仍然有助于建立问题，但最终输入的表达式必须匹配计算器实际采样的变量和边界。
检查示例：单位立方体
对于单位立方体和 f(x,y,z) = x*y*z：
∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0.125
这是很好的测试输入，因为边界是长方体，预期答案也很简单。如果数值结果明显偏离 0.125，请增加步数或检查表达式语法。
精度提示
增加步数通常会改善中点法的结果，但它仍然只是近似。长方体区域上的光滑函数效果最好。不连续函数、奇点、极窄尖峰，或实际并非盒状的区域，如果没有谨慎重写问题，可能会产生误导性的数值。
常见问题
计算器使用数值中点法。步数越多，采样点越多；对于光滑的被积函数，估计值通常会逐渐接近稳定值。
不能。本页近似计算带数值边界的定积分。如果需要原函数或代数步骤，请使用符号积分计算器。
不能直接输入。这里的输入是 x、y、z 的长方体范围。对于柱坐标或球坐标设置，请在支持这些变量的方法中使用正确的雅可比因子和变换后的边界。
不会。所有计算都在你的浏览器中运行。
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