积分计算器
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Integral estimate
在x（或任意变量）中输入表达式，计算器即可返回指定区间内的符号形式反导数或数值结果。支持处理多项式、三角函数、指数函数、对数函数及有理函数，并提供常用代换法和分部积分法——若需核对计算过程，系统会显示详细步骤。
如何评估一个积分
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1
输入被积函数
函数名称应格式为 `x^2 + 3*sin(x)` 或 `1 / (x^2 + 1)`。允许使用空格进行隐式乘法运算。
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2
选择确定或不确定
对于定积分，需设定下界与上界（对应支持区间`inf`和`-inf`）。
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3
计算；运算
该工具首先尝试采用符号解法；若失败，则转而采用数值积分法。
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4
阅读步骤
可选的逐步展开过程可展示替换法、分部积分法或部分分式分解法。
常见抗导数剂
| f(x) | 积分 |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec²(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan (x) + C |
| 1 / sqrt (1 - x^2) | arcsin (x) + C |
工具尝试使用的技术顺序
- 基本规则——幂运算、指数运算、三角函数。
- 替换（u-替换）——在被积函数中找出一个函数及其导数。
- 分部整合法——适用于不同功能类型的产品（编号：
∫u dv = uv - ∫v du）。 - 部分分数——适用于有理积分函数
P(x)/Q(x)和deg(P) < deg(Q)。 - 三角恒等式——关于正弦函数与余弦函数乘积的恒等式。
- 数值积分法——当不存在闭合解时，采用高斯-克龙罗德方法求定积分。
定积分符号
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
基本定理指出：若 F 是 f 的原函数，则从 a 到 b 的定积分等于 F(b) - F(a)。该工具首先计算 F，然后在边界处进行求值。
常见错误
- 省略
+ C。 每个不定积分都包含一个积分常数，该工具会自动显示；而学生在手写时常常会忘记这一点。 - 不适当积分的错误边界值。 应为
∫_0^∞ e^(-x) dx = 1，而非∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π)。务必检查收敛性。 当分母因子为具有实根的(x-a)(x-b)时，应使用反正切而非反正正切——此处指对数运算，而非反正切运算。 - 在u代入时忘记应用链式法则。若
u = 3x，则应为du = 3 dx，而非du = dx。
当不存在闭合形式时
某些积分（如e^(-x^2)、sin(x)/x、1/ln(x)）单纯缺乏初等反导数。但在特定区间内，这些积分仍具有数值解，且工具可高精度地计算该数值。
常见问题
对于定积分，该工具会回退至数值求积法（高斯-克龙罗德法），并返回一个包含误差估计值的结果；而对于不存在初等反导数的不定积分，则会提示此情况并提供级数展开作为替代方案。
是的。请将表达式括起来以明确变量含义，例如 integrate(t^2, t)。任何单字母变量均可使用。
是的。启用“显示步骤”功能后，该工具将逐行输出所使用的替换方案、部件选择或部分分数分解结果。
是的，但为获得清晰结果，您可能需要在零交叉点处对区间进行分割。该工具可通过自动检测符号（在可行情况下）来处理\|x\|数据。