标准差计算器
粘贴一组数字后，计算器会返回均值、方差、标准差（分母为 n−1 的样本标准差 s，以及分母为 n 的总体标准差 σ）、变异系数和每个值的 z 分数。它可以帮助你在进行参数检验前，先判断数据围绕均值的离散程度。
标准差的计算方式
-
1
粘贴数字
用逗号、空格或换行分隔。非数字项会被跳过。
-
2
计算均值 x-bar
总和除以数值个数。
-
3
求偏差平方和
sum((x − x-bar)²).
-
4
相除并开方
样本：除以 (n−1)，再取 √。总体：除以 n，再取 √。
样本还是总体：什么时候用哪一种？
| 使用总体（分母 n） | 使用样本（分母 n−1） |
|---|---|
| 你拥有研究总体中的全部数值 | 你拥有从更大总体中抽取的样本 |
| 对所有员工的完整普查 | 从数千名客户中抽取 20 名 |
| 某次实验中 10 次掷骰子的全部结果 | 来自生产线的测量值 |
分母 n−1（贝塞尔校正）可以用样本数据给出总体方差的无偏估计。若用 n 作为分母，就会系统性地低估真实的总体方差。n 很大时差异会缩小，但在小样本中这个差异很重要。
标准差的直观理解
如果一组数据的均值为 100、标准差为 15，并且近似服从正态分布：
- 68% 的值落在 85 到 115 之间（1 个标准差）
- 95% 的值落在 70 到 130 之间（2 个标准差）
- 99.7% 的值落在 55 到 145 之间（3 个标准差）
这就是 68-95-99.7 规则，也叫经验法则。IQ 分数、人的身高以及许多自然测量值，在数据近似正态时都比较符合这一规律。
变异系数
CV = 标准差 / 均值。它是一个无量纲的离散程度指标，适合比较均值不同的数据集的波动性。CV 为 0.1（10%）大致表示标准差等于均值的 10%。对于可能跨过 0 的数据，这个指标通常没有意义。
z 分数
对每个值 x：z = (x − 均值) / 标准差。它表示该值高于或低于均值多少个标准差。|z| > 2 常被标记为可能的异常值；|z| > 3 在正态数据中相当少见。
常见错误
- 应该使用样本公式时却使用总体公式。 这会低估样本数据中的变异程度。
- 把不同单位的均值和标准差混在一起。 始终先检查量纲。
- 把正态分布规则套用到非正态数据。 偏斜或多峰数据会破坏 68-95-99.7 的经验规则。请先画直方图。
- 忽略异常值。 一个极端值就可能大幅提高标准差。对于重尾数据，可以考虑更稳健的替代指标，例如中位数绝对偏差或四分位距。
常见问题
Excel 目前的函数是 STDEV.S（样本，分母 n−1）和 STDEV.P（总体，分母 n）。较旧的 STDEV 和 STDEVP 仍为兼容性保留，因此请确认所用函数与你的样本或总体假设一致。
是的。标准差与原始测量值使用相同单位，例如厘米、元或秒。方差使用平方单位，因此标准差通常更容易阅读。
样本标准差在 n >= 2 时有定义。如果 n 小于约 30，可以考虑同时报告标准差的置信区间，或使用更稳健的替代指标。
标准差仍然有定义。对于比例 p，SD = sqrt(p × (1−p))。如果一个样本中 60% 的值为 1，则 SD = sqrt(0.6 × 0.4) ~= 0.49，与观测数量无关。
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