平方根计算器

值得记住的完全平方数

化简非完全平方数

对于整数，先寻找最大的完全平方因子：

• √50 = √(25 × 2) = 5√2
• √72 = √(36 × 2) = 6√2
• √108 = √(36 × 3) = 6√3
• √500 = √(100 × 5) = 10√5
• √1000 = √(100 × 10) = 10√10

如果还剩下不是平方数的因子，就把它留在根号下。例如 √180 = √(36 × 5) = 6√5，而不是 √(4 × 45) = 2√45，因为 45 里面仍然含有完全平方因子 9。

常见小数值和用途

• √2 ≈ 1.41421（课堂几何：1 × 1 正方形的对角线）
• √3 ≈ 1.73205（单位立方体的空间对角线）
• √5 ≈ 2.23607（出现在黄金比例 (1+√5)/2 中）
• √7 ≈ 2.64575
• √π ≈ 1.77245（统计学和高斯积分）
• √10 ≈ 3.16228
• √(1000) ≈ 31.6228（数值增加 10 倍，平方根约增加 3.16 倍）

在建筑或测量中，平方根常用来把面积换算成边长：面积为 49 m² 的正方形露台边长为 √49 = 7 m，而面积为 80 m² 的正方形空间边长为 √80 = 4√5 m ≈ 8.94 m。

负数和复数根

负数的平方根不是实数。在复数中，当 x 为正数时，√(−x) = i√x，所以 √(−4) = 2i。在线计算器会把负数输入标记为复数，而不是显示一个实数小数值。

平方根与 n 次根

此计算器处理平方根，也就是二次根。对于立方根、四次根和其他指数的根，请使用通用的 n 次根工具。关键恒等式：

• √(ab) = √a × √b（仅当 a 和 b 都非负时）
• √(a/b) = √a / √b（仅当 b > 0 时）
• (√a)² = a（仅当 a >= 0 时）

历史提示

根号符号 √ 在 16 世纪由字母 r 演变而来，r 来自拉丁语 radix，意思是“根”。17 世纪加入了称为 vinculum 的横线，用来准确标明哪些内容属于根号之下。