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平方根计算器

步 1 / 4 Square root

输入一个正数，计算器将返回其十进制形式的平方根（精确至15位），并在可能的情况下提供其精确的简化根式形式—— √72 becomes 6√2，√200 becomes 10√2. 对于完全平方数可得到整数；对于负数则会显示带有虚部提取后的i表示法。

根值的计算方法

  1. 1

    输入被根号数

    根号下的数值。可为正数、负数或零。

  2. 2

    十进制形式

    通过IEEE 754平方根指令计算得出，精度达15位有效数字。

  3. 3

    简化的根式形式

    提取完全平方因数。 √72 = √(36 × 2) = 6√2.

  4. 4

    显示工作内容

    系统会逐步显示因式分解过程，以便您手动复现。

需要了解的完美平方数

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

简化非完美平方数

关键在于找出最大的完全平方因子：

若结果仍存在非平方因子，则重复步骤： √180 = √(36 × 5) = 6√5，not √(4 × 45) = 2√45（未完全简化）。

常见十进制值

负数与虚数

负数的平方根在实数域中没有定义。在复数域中， √(−x) = i√x for positive x. So √(−4) =2i。计算器对负数输入会显示虚部形式而非十进制数值。

平方根与n次根

该计算器可计算平方根（二次根）。对于立方根、四次根等，可使用通用的n次根计算器。关键公式：

历史记录指针

根号符号√起源于16世纪的字母r（拉丁语中代表“根”的radix）。水平横线（连结符）于17世纪被加入，用于标示根号下方的内容。

常见问题

每个正数都有两个平方根：+x 和 −x。通常所说的“√”指的是主根（即非负根）。二次方程同时使用这两个根。

根据惯例，答案仅为5。√函数返回主根（非负根）。当求解方程 x² =25时，5和−5均满足该方程，因此可写成x=±5。

历史方法包括：逐位长除法算法、牛顿法（迭代形式：x_new = (x + a/x)/2），或针对富含完全平方数的数值求根时采用因式分解与简化法。牛顿法收敛迅速——对于大多数输入值，仅需三次迭代即可达到十位精度。

希腊数学家通过反证法证明：若√2可化为最简形式的p/q，则 2q² = p² ，此时p为偶数（即p=2k），进而 2q² = 4k² ，导致 q² = 2k² ，此时q亦为偶数——这与lowest terms定理相矛盾。因此√2不可能是分数，而是一个无理数。