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平方根计算器

步 1 / 4 平方根
下一步：结果

输入任意数字。对于非负输入，计算器会返回主平方根的小数值；对于正整数，还会在可能时显示简化根式：√72 = 6√2，√200 = 10√2。完全平方数会得到整数。负数输入会标记为复数，下面的说明会解释 √(−x) 如何变成 i√x。

平方根的计算方式

  1. 1

    输入被开方数

    输入根号下面的数字。它可以是正数、负数或零。

  2. 2

    查看小数结果

    对于非负输入，计算器使用标准浮点平方根运算返回主平方根。

  3. 3

    检查简化根式

    对于正整数，完全平方因子会被移到根号外。√72 = √(36 × 2) = 6√2。

  4. 4

    用下方说明核对

    下面的例子展示因数分解方法、常见小数值，以及实数根和复数根的区别。

值得记住的完全平方数

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

化简非完全平方数

对于整数，先寻找最大的完全平方因子：

  • √50 = √(25 × 2) = 5√2
  • √72 = √(36 × 2) = 6√2
  • √108 = √(36 × 3) = 6√3
  • √500 = √(100 × 5) = 10√5
  • √1000 = √(100 × 10) = 10√10

如果还剩下不是平方数的因子，就把它留在根号下。例如 √180 = √(36 × 5) = 6√5，而不是 √(4 × 45) = 2√45，因为 45 里面仍然含有完全平方因子 9。

常见小数值和用途

  • √2 ≈ 1.41421（课堂几何：1 × 1 正方形的对角线）
  • √3 ≈ 1.73205（单位立方体的空间对角线）
  • √5 ≈ 2.23607（出现在黄金比例 (1+√5)/2 中）
  • √7 ≈ 2.64575
  • √π ≈ 1.77245（统计学和高斯积分）
  • √10 ≈ 3.16228
  • √(1000) ≈ 31.6228（数值增加 10 倍，平方根约增加 3.16 倍）

在建筑或测量中，平方根常用来把面积换算成边长：面积为 49 m² 的正方形露台边长为 √49 = 7 m，而面积为 80 m² 的正方形空间边长为 √80 = 4√5 m ≈ 8.94 m。

负数和复数根

负数的平方根不是实数。在复数中，当 x 为正数时，√(−x) = i√x，所以 √(−4) = 2i。在线计算器会把负数输入标记为复数，而不是显示一个实数小数值。

平方根与 n 次根

此计算器处理平方根，也就是二次根。对于立方根、四次根和其他指数的根，请使用通用的 n 次根工具。关键恒等式：

  • √(ab) = √a × √b（仅当 a 和 b 都非负时）
  • √(a/b) = √a / √b（仅当 b > 0 时）
  • (√a)² = a（仅当 a >= 0 时）

历史提示

根号符号 √ 在 16 世纪由字母 r 演变而来，r 来自拉丁语 radix，意思是“根”。17 世纪加入了称为 vinculum 的横线，用来准确标明哪些内容属于根号之下。

常见问题

每个正数都有两个平方根：+r 和 −r。根号 √ 返回主平方根，也就是非负的那个。解二次方程时，通常需要同时考虑两个根。

按约定只等于 5。√ 返回主平方根。解 x² = 25 时，5 和 −5 都满足方程，因此写作 x = ±5。

常见方法包括把完全平方数从根号下提出、逐位长除法开平方，以及牛顿法：x_new = (x + a/x)/2。牛顿法收敛很快，课堂验算通常迭代几次就够了。

经典证明使用反证法。假设 √2 = p/q 且已经约到最简，则 2q² = p²，所以 p 是偶数。令 p = 2k，就得到 q² = 2k²，因此 q 也是偶数。这与 p/q 已经是最简分数的假设矛盾，所以 √2 不能表示成分数。

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