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球体积计算器

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输入半径，计算器立即按 V = (4/3) π r³ 给出球的体积、表面积（A = 4 π r²）和直径（d = 2r）。结果与单位无关：半径以厘米输入，体积就以立方厘米给出；以米输入，就得到立方米。不预设任何特定单位。

球体积是如何计算的

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    输入半径

    输入球的半径 r。结果即时更新，直径 d = 2r 显示在旁边。

  2. 2

    体积公式

    V = (4/3) π r³。计算器把半径三次方，再一次性乘以 π 和 4/3。

  3. 3

    同时给出表面积

    A = 4 π r²：大圆（即赤道横截面 π r²）面积的四倍。

  4. 4

    单位由你决定

    无论用什么单位输入 r，体积都以该单位的三次方给出（cm 得 cm³，m 得 m³），表面积以该单位的平方给出。

常用公式

量 公式
体积 V = (4/3) π r³
表面积 A = 4 π r²
横截面积 π r²
由半径求直径 d = 2r
赤道处周长 c = 2π r
由体积求半径 r = ∛(3V / (4π))

算例

对象 r 约 体积 约
玻璃弹珠 0.7 cm 1.4 cm³
棒球 3.65 cm 204 cm³
篮球 11.9 cm 7,057 cm³ (7 L)
沙滩球 25 cm 65,450 cm³ (65 L)
热气球外壳 11 m 5,575 m³
地球 6,371 km 1.083 x 10^12 km³
太阳 696,340 km 1.41 x 10^18 km³

推导（供好奇者参考）

球的体积来自对球的水平薄片积分 π y² dx，其中 y² = r² − x²。从 x = −r 到 r 得到 ∫(r² − x²) π dx = π [r²x − x³/3]（从 −r 到 r）= (4/3) π r³。阿基米德最早得出这一结果，并让人把著名关系 V_球 = (2/3) V_圆柱 刻在自己的墓碑上，其中圆柱恰好外接该球。

常见混淆

  • 半径与直径。 直径加倍会使体积变为八倍（2³ = 8），而不是两倍。
  • 半球与球。 半球是球的一半，(2/3) π r³。
  • 大圆面积与表面积。 大圆（如赤道）的面积为 π r²。整个球面是它的四倍。
  • 球与椭球。 三个半轴各不相同的椭球用 V = (4/3) π a b c。把地球近似为球会舍去约 0.3%，日常计算通常足够，但不适用于卫星轨道。

与密度和质量的联系

对于密度为 ρ 的实心均质球，质量 = ρ × V = ρ × (4/3) π r³。半径 5 cm 的钢球（ρ = 7,850 kg/m³）质量为 7,850 × (4/3) × π × 0.05³ ≈ 4.11 kg。

常见问题

半球的体积恰好是整球的一半，(2/3) π r³。把球的结果除以 2 即可。封闭半球的表面积为 2π r²（球冠）+ π r²（底面）= 3π r²。

把公式反解：r = 立方根(3V / (4π))。当 V = 1 升（0.001 m³）时，r = 立方根(3 × 0.001 / (4π)) ≈ 0.062 m = 6.2 cm。

日常使用 3.14159 已绰绰有余。需要 6 位及以上有效数字的工程计算请用 3.141592653589793。计算器内部使用双精度 π。

若球内切（恰好装入棱长 d = 2r 的立方体），则 V_球 / V_立方体 = (4/3) π r³ / (2r)³ = π/6 ≈ 52.36%。立方体的体积约为球的两倍。

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