RREF 计算器

最简行阶梯形的含义

如果一个矩阵满足以下条件，它就是最简行阶梯形矩阵：每个非零行的第一个非零元素为 1；下一行的首个 1 位于上一行首个 1 的右侧；主元所在列的其他元素全为 0；所有零行都位于底部。这些作为行首非零元素的 1 就是主元。

RREF 以统一形式呈现矩阵的数值结构。主元所在的列是主元列，其余列是自由列。矩阵的秩等于主元数量。对于具有 n 列的矩阵，本工具给出的零度等于 n 减去秩，也等于自由列数量。

列编号从 1 开始。如果结果显示主元列为 1 和 3，指的是输入矩阵的第一列和第三列。

显示的初等行变换

计算器使用三类标准初等行变换：

• 交换两行。
• 用一个非零数乘某一行。
• 用某一行减去另一行的倍数来替换该行。

对于每个主元列，计算器会在剩余各行中选择主元候选绝对值最大的行。这种部分选主元方法可以避免在有更大候选值时除以较小的数，是一项数值稳定措施。选中的行会被移到相应位置，主元缩放为 1，然后消去主元上方和下方的元素。每次变换后的矩阵都会显示在初等行变换列表中。

有效的行变换次序可能不同，因此中间过程也可能不同。除有限精度运算造成的微小差异外，最终的最简行阶梯形相同。

数值示例

对于默认矩阵

其最简行阶梯形为

第 1 列和第 3 列有两个主元，所以秩为 2。第 2 列是自由列，零度为 3 - 2 = 1。计算器不仅显示最终矩阵，还会列出得到该结果时实际使用的行变换顺序。

秩、零度、主元列和自由列

秩是化简后矩阵中的主元位置数量。它表示矩阵列空间的维数，也等于 RREF 中非零行的数量。

零度是矩阵零空间的维数。对于秩为 r 的 m × n 矩阵，有：

秩 + 零度 = 列数，即 r + 零度 = n。

计算器直接根据数值行化简确定这些值。没有自由列的矩阵零度为 0。较宽的矩阵可能有多个自由列；存在相关行或零行的矩阵，其秩可能小于行数。

输入规则和数值容差

每行文本输入一行矩阵。在中文页面上，可以使用空格、逗号、分号或竖线分隔元素。空行会被忽略，但所有非空行的元素数量必须相同。支持整数、小数以及 2.5e-3 这样的科学计数法。每个值必须是 -1,000,000 到 1,000,000 之间的有限数。

计算器使用浮点运算。在化简过程中，绝对值小于 1e-10 的数会被视为 0。该容差可以防止微小舍入残差被误判为主元，但对于数值上接近奇异的矩阵，仍应按课程或实际应用所需的精度核对结果。

本计算器不提供的功能

这是数值矩阵化简工具，不是符号代数系统。它不接受变量、用表达式书写的分数、根式或公式；不计算行列式或逆矩阵；也不生成参数解、不把矩阵行转换成方程，更不会判断另行描述的方程组是否相容。

你可以输入数值增广矩阵来查看行化简过程，但工具会把所有列视为同一个矩阵的一部分。它不会识别增广分界，也不会把最后一列解释为常数项。请根据显示的 RREF 和列信息，再按照自己的线性代数题目要求继续处理。