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正态分布计算器

步 1 / 3 概率
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向计算器输入均值、标准差以及一个原始数值或一个概率，即可得到 z 值、曲线下面积（累积概率）以及对应的百分位数。它支持左尾、右尾和双尾概率，统计学入门习题集或质量控制报告通常需要的结果都能一次算出。

如何计算正态分布概率

  1. 1

    输入均值和标准差

    标准正态分布使用均值 0、标准差 1；智商（IQ）使用均值 100、标准差 15。

  2. 2

    选择问题类型

    P(X < x)、P(X > x)、P(a < X < b)，或根据给定概率反求 x。

  3. 3

    输入数值或概率

    可以是分布中的原始数值，也可以是 0.05 这样的尾部概率。

  4. 4

    读取 z 值和概率

    工具会显示 z 值、累积概率和百分位数。

公式

z 值可以把任意数值标准化：

z = (x − μ) / σ

累积分布函数 Φ(z) 表示标准正态变量取值小于 z 的概率。由于 Φ 没有闭式解，计算器采用数值近似（最常用的是 Abramowitz 与 Stegun 的有理多项式，精度可达小数点后七位）。

经验法则（68-95-99.7）

区间 概率
μ ± 1σ 68.27%
μ ± 2σ 95.45%
μ ± 3σ 99.73%
μ ± 1.96σ（经典 95% 置信区间） 95.00%
μ ± 2.576σ（99% 置信区间） 99.00%

常用的临界 z 值

  • 单尾 α = 0.05： z = 1.645
  • 双尾 α = 0.05： z = ±1.96
  • 双尾 α = 0.01： z = ±2.576
  • 双尾 α = 0.001： z = ±3.291

快速解读技巧

  • 正 z 值表示高于均值，负 z 值表示低于均值。
  • |z| > 2 已属少见区域，约占分布的 5%。
  • |z| > 3 非常罕见，约为 0.3%，制造业常把它当作异常值阈值。
  • 百分位数等于 Φ(z) × 100。z 值为 1.0 时对应第 84 百分位数。

常见应用场景

标准化考试评分（SAT、IQ）、质量控制（六西格玛）、金融风险模型（VaR 假设数据服从正态分布，但这一假设常常并不成立），以及数不清的实验科学假设检验，都依赖正态分布概率。

常见问题

因为中心极限定理。大量独立随机变量的和与平均值都会趋近正态分布，而与它们各自的原始分布无关。这使得正态分布成为许多现实过程中样本均值的良好近似。

很少完全服从，但常常近似服从。身高、测量误差和智商分数都接近正态分布；而金融收益、等待时间以及许多自然计数则不然，它们尾部更厚或呈偏态。作出假设之前，务必先画图看看。

它表示“这个数值离均值有多少个标准差”。z 值为 +2 就是“比均值高两个标准差”，若分布为正态分布，该数值大约位于第 97.7 百分位。

当 |z| < 6 时，计算器采用的数值近似精度约为小数点后七位。超出该范围后，概率极小，双精度浮点数已无法保证精度；深入尾部的计算请使用任意精度的软件。

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