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取模计算器

步 1 / 3 余数（a mod b）
下一步

取模（或称“mod“）运算返回整数除法后的余数：17 mod 5 = 2，因为 17 = 3·5 + 2。它是时钟算术、密码学、哈希函数以及 SQL 中“每隔第 N 行“模式的核心。本计算器接受整数或小数操作数，明确显示商与余数，并处理各语言之间符号约定的差异（负数时 Python 的 % ≠ C 的 %）。

如何计算 a mod b

  1. 1

    输入被除数 (a) 与除数 (b)

    任意数字均可；支持小数和负数。

  2. 2

    选择符号约定

    截断除法（C、Java、Go），向下取整除法（Python、Ruby、数学约定）。

  3. 3

    读取商与余数

    a = q·b + r，r 的符号由所选规则决定。

  4. 4

    查看数学表达式

    代入数值后，每一步都清晰可见。

负数的两种约定

对于正操作数，所有约定一致：17 mod 5 = 2。对于负数，各语言有所不同：

语言 -17 mod 5 约定
Python、Ruby 3 向下取整
C、Java、Go、JS -2 截断
数学教科书 3 向下取整（通常）

向下取整除法： 商向 −∞ 方向取整。余数始终与除数同号：与 b 同号。 截断除法： 商向零方向取整。余数与被除数同号：与 a 同号。

当 a = -17、b = 5 时：

  • 截断： q = -3（向 0 取整），r = -17 − (-3)·5 = -2。
  • 向下取整： q = -4（向 -∞ 取整），r = -17 − (-4)·5 = 3。

在各自的约定下两者都正确。请选择与你的语言相符的方式。

取模的应用场景

  • 时间。 一小时中的分钟、一周中的天数、一天中的秒数，都是取模算术。
  • 哈希表。 hash(key) mod table_size 选择一个桶。
  • 轮询调度。 task_i mod worker_count 分配任务。
  • 密码学。 RSA 和 Diffie-Hellman 建立在使用超大素数的 mod n 之上。
  • 每隔第 N 行。 在 SQL 中：WHERE id % 3 = 0。
  • 奇偶校验。 n mod 2 == 0 表示偶数。
  • 交替图案。 行条纹，每隔一项着色。
  • 环形缓冲区。 (index + 1) mod size 会绕回起点。

有用的恒等式

  • (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
  • (a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n
  • (a^k) mod n 可通过快速模幂在 O(log k) 时间内算出，对大数密码学至关重要。
  • 对任意整数 a，a mod 1 = 0。
  • a mod a = 0。

小数取模

对于实数，自然定义为 a mod b = a − b · floor(a/b)。7.5 mod 2.5 = 0，因为 7.5 是精确倍数。7.6 mod 2.5 = 0.1。

JavaScript 的 % 运算符适用于实数；Python 的 fmod 执行截断式实数取模；Python 的 % 执行向下取整式实数取模。

计算示例

  • 100 mod 7：100 = 14·7 + 2，因此余数为 2。
  • 25 mod 4：25 = 6·4 + 1，因此余数为 1。
  • -10 mod 3（向下取整）：-10 = -4·3 + 2，余数 2。（截断则得 -1。）
  • 17.5 mod 5：17.5 = 3·5 + 2.5，余数 2.5。

常见问题

大多数情况下二者是同义词。正式而言，“modulo”通常指数学约定（向下取整），而“remainder“（余数）通常指截断变体（C 风格）。这些名称会渗入各语言的文档；当区别重要时，请明确注明所用约定。

Python 遵循数学约定（向下取整），使余数符号与除数一致；C 遵循硬件 ALU 约定（截断），使余数符号与被除数一致。两者都不算错，只是不同的选择。

不能，除以零没有定义。当 b = 0 时，计算器会返回错误。

通常相同。请查阅你所用语言关于负数处理的规范，Python 和 Ruby 与 C、Java、Go 和 JavaScript 不同。

对于使用 2048 位数字的 RSA 式运算，请使用专用库（Python 的 pow(a, b, n)、Java 的 BigInteger.modPow）。本计算器处理日常数值，而非密码学级别的数值。

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