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特征值计算器

步 1 / 4 矩阵 A
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用这个特征值计算器，只需输入四个元素就能求解一个实的 2×2 矩阵。工具会计算迹、行列式、特征多项式、判别式和特征值；当两个特征值互不相同且都是实数时，还会给出实特征向量。它适合线性代数作业、工程模型中的快速验算，以及手算对角化小矩阵之前的核对。

如何求特征值

  1. 1

    输入矩阵元素

    为矩阵 A = [[a, b], [c, d]] 填入 a、b、c 和 d。可以使用小数和负数。

  2. 2

    写出特征方程

    计算器用迹 T = a + d 和行列式 D = ad - bc 组成 λ² - Tλ + D = 0。

  3. 3

    判断根的类型

    判别式 T² - 4D 决定特征值是两个不同实数、一个重根，还是一对共轭复数。

2×2 矩阵的公式

对于 A = [[a, b], [c, d]]，特征值就是下面方程的根：

det(A - λI) = 0

展开这个行列式可得：

λ² - Tλ + D = 0

其中：

  • T = a + d 是矩阵的迹。
  • D = ad - bc 是行列式。
  • Δ = T² - 4D 是判别式。

于是：

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

计算示例

对于 A = [[2, 1], [1, 2]]，迹为 T = 2 + 2 = 4，行列式为 D = 2·2 - 1·1 = 3。特征多项式为：

λ² - 4λ + 3 = 0

判别式为 Δ = 4² - 4·3 = 4，所以特征值为：

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

特征值 3 对应的一个特征向量是 [1, 1]，特征值 1 对应的一个特征向量是 [1, -1]。这些向量的任意非零数乘同样是有效的特征向量。

判别式的含义

判别式 Δ 特征值的情形 可以预期的结果
Δ > 0 两个实特征值 两个互不相同的实根；对 2×2 矩阵而言，若矩阵在实数范围内可对角化，就有两个线性无关的特征向量。
Δ = 0 重根特征值 只有一个二重根。特征子空间的维数可能是 1 也可能是 2，因此若关心对角化，请另行检查特征向量。
Δ < 0 一对共轭复数 没有实特征值。两个根的实部相同，虚部互为相反数。

常见错误

  • 写错 A - λI。 只有主对角线上的元素会变：a - λ 和 d - λ。
  • 漏掉行列式中的负号。 对 2×2 矩阵而言是 D = ad - bc，不是 ad + bc。
  • 默认重根特征值一定可对角化。 二重根仍然需要足够多线性无关的特征向量。
  • 过早四舍五入。 尽量把迹、行列式和判别式保持为精确值，处理小数时尤其如此。

常见问题

本工具专注于实的 2×2 矩阵。这样结果一目了然：每个数值都来自迹、行列式和二次特征多项式。

会。如果判别式 T² - 4D 为负，特征值就是一对共轭复数。像 [[0, -1], [1, 0]] 这样的旋转矩阵就是经典例子。

当实特征值互不相同时，每个根都能写出一个简单的实向量，所以计算器会显示特征向量。重根和复数的情形需要更多说明，因此工具在这两种情况下只给出特征值和分类结果。

不涉及任何文件上传。这些元素由页面组件直接计算，得到迹、行列式、多项式和特征值。

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