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点积计算器

步 1 / 3 点积
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点积将两个向量简化为一个标量，该标量表示它们指向同一方向的程度。它被广泛应用于搜索排名中的余弦相似度计算、物理学中的投影运算以及计算机图形学中的所有光照计算。该工具可对维度匹配（二维、三维或N维）的两个向量计算点积，并显示二者夹角的余弦值。

如何计算点积

  1. 1

    输入两个向量

    将各分量以逗号或空格分隔输入：一个向量输入`3, 4, 5`，另一个输入`1, 2, 1`。

  2. 2

    匹配维度

    两个向量的长度必须相同。若维度不一致，该工具会在计算前予以提示。

  3. 3

    查看结果

    标量点积会连同两向量夹角的余弦值(cos θ)以及以度为单位的角度一并展示。

两个公式

向量 a = (a1, a2, ..., an) 和 b = (b1, b2, ..., bn) 的分量形式：

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

几何形式：

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

这两个表达式相等；令二者相等即可得到cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|)，即余弦相似度公式。

符号所代表的含义

点积 含义
正值 两个向量指向大致相同的方向（角度 < 90°）
0 两个向量相互正交（垂直）
负值 两个向量指向大致相反的方向（角度 > 90°）

计算示例

a = (3, 4), b = (1, 2):

  • 各分量之积：3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11
  • |a| = √(9 + 16) = 5
  • |b| = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.236
  • cos(θ) = 11 / (5 × 2.236) = 0.9839
  • θ = arccos(0.9839) ≈ 10.3度

两个向量几乎指向相同方向，因此点积为较大的正值。

常见应用

  • 余弦相似度（推荐系统）：两个嵌入向量有多相似？
  • 投影：将一个向量投影到另一个向量上：proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b。
  • 物理学中的功：W = F . d，即力与位移的点积。
  • 图形光照：表面法线与光照方向的点积可得到漫反射亮度（朗伯定律）。
  • 正交性检验：快速验证两个基向量是否相互垂直。

小贴士

  • 比较前需标准化处理。 若仅关注方向（相似性），请先将每个向量除以其模长；此时点积即直接等于余弦值。
  • 注意维度关系。 若一个3维向量与一个4维向量相乘，则结果为未定义；应有意进行填充或截断，而非偶然操作。
  • 数值稳定性。 对于非常大的向量，浮点累加运算可能损失精度；当维度超过数千时，应使用双精度或Kahan求和法。

常见问题

点积返回一个标量，用于衡量两个向量的“平行程度”；叉积（仅定义于三维和七维空间）返回一个与这两个向量均垂直的向量，用于衡量它们的“垂直程度”。二者回答的是相反的问题。

是的，对于任意维度N均适用。该分量定义可直接推广；在机器学习中，它被日常用于处理具有数百或数千维向量的数据。

因为几何形式|a| |b| cos(theta)在余弦值为零时其值也为零（出现在90度和270度）。两个非零向量恰好在点积为零时相互正交。

您输入的向量分量会发送到我们的服务器，因为计算在那里进行。这些分量不会被存储，也不会与您的账户关联。

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