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判别式计算器

步 1 / 4 ax² + bx + c 的判别式 = b² − 4ac
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在运用完整的二次公式之前，仅需一个表达式即可全面了解所得根的性质：判别式 b² – 4ac 的值为正时存在两个实根；为零时存在一个实根（重根）；为负时则存在一对复共轭根。该工具可根据系数 a、b、c 计算判别式值，并解释其具体含义。

如何计算判别式

  1. 1

    输入系数

    输入标准形式 ax² + bx + c = 0 中的 a、b 和 c。支持小数及负数。

  2. 2

    阅读判别式

    该工具显示公式 D = b² – 4ac 及数值结果。

  3. 3

    解释该值

    判断该方程是否存在两个不同的实根、一个重根或两个复根。

符号的含义

判别式 根的类型 图像的行为
D > 0 两个不同的实根 抛物线与 x 轴相交两次
D = 0 一个实根（重根/二重根） 抛物线与 x 轴相切于一点
D < 0 两个复共轭根 抛物线与 x 轴永不相交

工作示例

x² – 5x + 6 = 0： D = 25 – 24 = 1（为正数），因此存在两个实根。根据公式 x = (5 ± 1)/2，解得 x = 3 和 x = 2。

x² – 4x + 4 = 0： D = 16 – 16 = 0。因此方程只有一个重根。解为 x = 4/2 = 2。

x² + 2x + 5 = 0： D = 4 – 20 = –16。为负值，因此存在复根。 x = (-2 ± √(-16)) / 2 = –1 ± 2i。

符号之外：确切数值

该判别式还能判断根是否为有理数。对于整数 a、b、c：

  • D 是一个完全平方数（0、1、4、9、16、25……）：其根均为有理数。
  • D为正数但非完全平方数：其根为无理数，且包含平方根。
  • D 为负值：根为非实复数。

提前掌握这一信息可帮助判断该方程是否能在整数范围内清晰地分解。

相关判别式

该概念可推广至更高次数的多项式。三次多项式的判别式包含b、c、d及常数项，可根据判别式类型将三个根分为全实且互不相同型、实根含重型或一实二复型。本计算器仅支持二次多项式运算；对于三次和四次多项式，请使用通用代数求解器。

小贴士

  • 务必检查符号。 c 上多出或漏掉一个负号，都会使判别式发生显著变化。
  • 先化简分数。 若系数为有理数，请在计算 D 之前先去掉分母，以便运算更简便。
  • 仔细核对实际问题。 在抛体运动中，负判别式表示抛体永远无法到达目标，而非说明你算错了。

常见问题

不能直接使用。b² – 4ac公式仅适用于二次多项式；更高次数的判别式虽存在，但需使用不同的公式。若方程非二次方程，请先通过代换或因式分解将其化为二次方程。

在抛射体问题中，判别式为零是边界情况，即抛射体仅以一条切线路径勉强到达目标；在电路问题中，则对应临界阻尼情形。从物理角度而言，这代表两种不同行为之间的分界点。

计算在服务器上以双精度浮点运算完成，结果显示时四舍五入到小数点后4位。超过15位有效数字的输入可能会被近似。

不会。系数会发送到我们的服务器以便在输入时更新结果，在分步模式下也会包含在页面链接中。它们不会被存储或记录。

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