二项分布概率计算器

步 1 / 4 P(X = k)

n（试验次数）

下一个

进行 n 次独立的伯努利试验、每次成功概率为 p 时，二项分布会告诉你恰好成功 k 次的概率。这个计算器可一次性求出精确概率 P(X = k)、累积概率 P(X ≤ k)、上尾概率 P(X ≥ k) 以及均值和方差，采用基于对数伽马函数的组合计算，即使 n = 10,000 也能保持准确。

如何计算二项分布概率

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

其中 C(n, k) 是二项式系数，即“从 n 个中取 k 个的组合数”。工具通过伽马函数在对数空间中运算，以避免 n 很大时发生溢出。

所以抛硬币 10 次中恰好出现 7 次正面的概率约为 11.7%。

四条伯努利假设必须全部成立：

如果任何假设不成立（不放回的相依抽取、可变的 p、多于两种结果），应改用超几何分布、泊松二项分布或多项分布。

当 np ≥ 10 且 n(1-p) ≥ 10 时，二项分布可用带连续性校正的正态分布 Normal(μ, σ²) 很好地近似。计算器会标记这个条件，方便你在适用时改用 z 分数捷径。

P(X = k) 是恰好成功 k 次的概率；P(X ≤ k) 是最多成功 k 次的累积概率。公平硬币抛 10 次时，P(X = 5) ≈ 0.246，但 P(X ≤ 5) ≈ 0.623。

可以。计算器返回 P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)。对于“多于 k 次”，再多减一位：P(X > k) = P(X ≥ k+1)。

借助对数伽马计算，最高到 100,000 都稳定。再往上请使用正态近似，或在 p 很小且 n 很大时使用泊松近似。

那就需要泊松二项分布，而不是普通二项分布。这个计算器假设所有 n 次试验都共享同一个恒定的 p。