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线性插值计算器

步 1 / 4求经过两个点的直线上的值
第一个已知点
下一个

估算通过两个已知点的直线上的 y 值。输入 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) 和目标 x 值，计算器会给出 y、斜率、y 轴截距以及目标在区间中的位置比例。目标位于已知 x 值之间时属于插值；位于范围之外时会明确标为外推，此时直线关系的假设通常可靠性较低。

工作原理

  1. 1

    输入第一个点

    输入 x₁ 和 y₁，并为各自采用一致的实际单位。支持负数和小数。

  2. 2

    输入第二个点

    输入 x₂ 和 y₂。两个 x 值必须不同，否则无法得到唯一斜率。

  3. 3

    选择目标 x 值

    查看算出的 y 值、斜率、公式代入过程以及插值或外推状态。

线性插值的原理

x 值不同的两个点可确定唯一一条直线。对于目标 x，本计算器采用：

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

斜率为 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)。位置比例 t = (x − x₁) / (x₂ − x₁) 表示目标相对于第一个点的位置：t = 0 是点 1，t = 1 是点 2，0 < t < 1 则位于两点之间。NIST 在工程统计手册中将插值描述为估算设计点之间未观测区域的值，并将其与超出这些点的外推区分开来。NIST 的直线模型资料还给出了 f(x) = β₀ + β₁x。

计算示例

假设已知点为 (10, 25.5) 和 (20, 40.5)，目标为 x = 14。

  • 斜率：(40.5 − 25.5) / (20 − 10) = 1.5
  • 位置比例：(14 − 10) / (20 − 10) = 0.4
  • 结果：25.5 + 0.4 × 15 = 31.5

因为 14 位于 10 和 20 之间，所以这是插值。

位置比例 目标位置 工具状态
小于 0 沿有向直线位于点 1 之前 外推
0 到 1 位于两个 x 值之间，含端点 插值
大于 1 沿有向直线超出点 2 外推

估算可能产生误导的情况

线性插值假设区间内的关系足够接近直线。仅凭两个点无法发现曲率、不连续、阈值或测量误差。各个 x 值之间应采用一致单位，各个 y 值也应如此；x 和 y 的单位不必相同。外推会把同一斜率延伸到观测数据之外，因此需要格外谨慎。SciPy 官方的外推指南同样指出，定义域外的行为需要有意识地处理。涉及安全、金融、科学或工程的重要决策时，请确认线性模型确有依据，并采用合适的源数据和不确定度分析。

常见问题

插值是在两个已知 x 值的范围内求直线上的值。外推则把直线延伸到已知范围之外，通常不确定性更大。

斜率公式需要除以 x₂ − x₁。若两个 x 值相等，分母为零，两个点描述的是竖直线，无法为每个目标 x 指定唯一 y 值。

可以。支持带符号的有限数和当前语言使用的小数点符号。输入框中不要包含千位分隔符、单位或科学计数法。

为计算和恢复结果，五个数值可能通过服务器请求或步骤链接发送到本站。工具不会将它们发送给第三方服务，但请勿输入机密信息。

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