Softonic

等比数列计算器

步 1 / 3
下一个

等比数列是一列数，其中每一项都是前一项乘以一个称为公比的固定值。输入首项、公比以及你想要的项数，这个计算器就会返回第 n 项、前 n 项之和以及数列本身的预览。你输入时一切都会在浏览器中即时更新，因此无需手工计算幂和方根，就能探索增长、衰减和复利的规律。它支持整数、小数、以小数形式书写的分数，以及用于递减数列的小于 1 的公比。

如何使用等比数列计算器

  1. 1

    输入首项和公比

    输入首项（a₁）和公比（r）。公比大于 1 时数列增大；公比在 0 到 1 之间时数列减小。

  2. 2

    选择项数

    设定项数（n）。计算器会求出第 n 项，并为你把前 n 项相加。

  3. 3

    读取结果

    查看第 n 项、部分和以及数列的预览，你更改输入时它们都会重新计算。

公式

在等比数列中，每一项都等于前一项乘以公比 r。从首项 a₁ 开始：

aₙ = a₁ · r^(n−1)

前 n 项之和（部分和）为：

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) （当 r ≠ 1 时）

当公比恰好为 1 时，所有项都相同，因此和就是 Sₙ = n · a₁。若公比严格介于 −1 与 1 之间，无穷和收敛到 a₁ / (1 − r)。

例题演算

取 a₁ = 2、r = 3，并求 n = 5 项。

  • 数列：2、6、18、54、162
  • 第 5 项：a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
  • 和：S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

每一项都恰好是前一项的 3 倍，五项相加得 242。

各项与部分和一览

n 项 aₙ = 2·3^(n−1) 和 Sₙ
1 2 2
2 6 8
3 18 26
4 54 80
5 162 242

常见误区

  • 指数差一。 第 n 项用的是 r^(n−1)，而不是 rⁿ：首项尚未乘上公比。
  • 公比为 1。 把 r = 1 代入主求和公式会导致除以零。应改用 Sₙ = n · a₁；本工具会自动切换。
  • 等比还是等差。 等比数列乘以固定的公比；等差数列加上固定的公差。二者混淆会得到完全错误的项。
  • 负公比。 像 −2 这样的公比会让各项的符号交替变化（2、−4、8、−16、……）；这是合法的，计算器能够处理。

等比数列出现在哪里

等比数列可以为一切在每一步按固定百分比增长或衰减的现象建模。复利在每一期把余额乘以相同的倍数，因此余额构成一个等比数列。人口增长、以半衰期衡量的放射性衰变、落下的球每次弹跳的高度，以及资产逐年的折旧，都遵循同样的规律。在真实数据中识别出公比，你就能预测下一个数值、估算累计总和，或者判断当公比介于 −1 与 1 之间时是否适用收敛的无穷和公式。

常见问题

在等比数列中，每一项都是前一项乘以固定的公比（2、6、18、……）。在等差数列中，每一项都是前一项加上固定的公差（2、5、8、……）。等比数列按指数增长或衰减；等差数列以恒定的速度变化。

使用通项公式 aₙ = a₁ · r^(n−1)。把首项乘以公比的 n − 1 次幂。例如，2、6、18、…… 的第 8 项是 2 · 3⁷ = 4374。本计算器可以即时求出。

可以。介于 0 与 1 之间的公比（如 0.5）会让数列朝零递减，负公比（如 −2）会让符号交替变化。把数值以小数形式输入，计算器就能正确处理这两种情况。

不会。你输入的数字只会被发送到服务器用于计算结果。它们不会被存储，也不会用于任何其他用途。

相关工具

倒相管长度计算器

根据音箱最终净容积、目标调谐频率、导向管净内尺寸和数量，估算圆形或槽形低音反射导向管长度，支持公制与英制。

宏量营养素计算器

把每日热量目标和宏量营养素百分比换算成蛋白质、碳水化合物和脂肪的克数。可查看均衡、高蛋白、增肌和低碳水分配。

每股收益（EPS）计算器

根据净利润、优先股股利和加权平均流通股数计算基本每股收益（EPS）。查看投资者用来给股票估值的每股利润指标。

EBITDA 计算器

在净利润的基础上加回利息、税金、折旧和摊销来计算 EBITDA。查看投资者和放贷方用于比较企业的经营利润指标。

自行车车架尺寸计算器

根据骑行鞋内侧腿长、车架形式和候选几何数据，筛查成人自行车的跨高间隙。

板条护墙间距计算器

根据墙面宽度、净间距、板条实际宽度、锯缝和备用比例，规划室内板条护墙的中心线及竖向板条用料。

此工具还提供其他语言版本