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最大公约数计算器

步 1 / 2 最大公因数（GCF/GCD）
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最大公约数（亦称 GCD 或 HCF）是指能整除集合中所有数且余数为零的最大整数。输入两个或多个正整数，该计算器会立即用欧几里得算法算出它们的最大公约数。您可以用结果检查作业，或将分数化简（例如将84/144化为7/12）。

如何计算最大公约数

  1. 1

    请输入整数

    两个或更多个正整数，用逗号、空格或新行分隔。

  2. 2

    该工具采用欧几里得算法。

    反复将 (a，b) 替换为 (b，a mod b)，直至余数为零。

  3. 3

    读取最大公约数

    显示的结果即为您所输入各数的最大公约数，由欧几里得算法计算得出。

欧几里得算法

求 gcd(a, b)（其中 a ≥ b > 0）的方法：

while b ≠ 0:
    (a, b) ← (b, a mod b)
return a

对于两个以上的数，可应用恒等式 gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)。

计算示例：最大公约数（84, 144）

步骤 除法 余数
1 144 ÷ 84 = 1 r 60 60
2 84 ÷ 60 = 1 r 24 24
3 60 ÷ 24 = 2 r 12 12
4 24 ÷ 12 = 2 r 0 0

最后一个非零余数为 12，因此 gcd(84, 144) = 12，而 84/144 可化简为 7/12。

当最大公约数为 1 时

若 gcd(a, b) = 1，则这两个数互素（互质）。15 与 28 虽然都不是质数，但仍然互素；正是这一特性使得 15/28 无法进一步化简。

与最小公倍数的关系

gcd(a, b) × lcm(a, b) = |a × b|。因此，只要求出其中一个，另一个便可随之得出。

常见用途

  • 将分数化简为最简形式。
  • 找出能完全铺满某个矩形的最大同尺寸方砖。
  • 化简齿轮传动比和皮带轮直径。
  • 模运算：互素的数对在彼此的模下互为逆元。

常见问题

这三个英文缩写指的是同一个量。GCF（greatest common factor，最大公因数）在美国学校中常用；GCD（greatest common divisor，最大公约数）常见于数学与计算机科学领域；HCF（highest common factor，最高公因数）则用于英国的课程体系。三者在中文里都译作“最大公约数”。

它会跳过负数：计算时只使用正整数。若要包含负数，请输入其绝对值，例如输入 84 而不是 -84。

它等于 n（n 为正数时）。零能被任何整数整除，因此它与 n 的最大公约数就是 n 本身；而 gcd(0, 0) 通常被定义为 0。

不会存储。您输入的数字仅发送到我们的服务器用于计算结果，并且在您切换步骤时也可能出现在页面链接中。

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