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斐波那契计算器

步 1 / 3 第 N 个斐波那契数
下一个

选择你想要的项数（1 到 200），这个斐波那契计算器就会构建数列 F(1)、F(2)、F(3)……其中每个数都是前两个数之和。它会给出第 n 个斐波那契数、整个数列的累计和，以及收敛于黄金比例的最后两项之比。每个值都采用精确的大整数运算，因此即便是长达 42 位的第 200 项，也能毫无舍入误差地返回。

计算器如何运作

  1. 1

    输入项数

    输入你需要多少个斐波那契数，范围从 1 到 200。

  2. 2

    选择模式

    显示数列（最多前 100 项），或在只关心最终结果时仅显示第 n 项。

  3. 3

    查看结果

    查看第 n 个斐波那契数、所有项之和以及黄金比例的近似值，全部都是精确值。

斐波那契公式

斐波那契数列由一个简单的递推关系定义：

F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)   （当 n > 2 时）

每一项都是前两项之和。本计算器采用 F(1) = 1、F(2) = 1 的约定，因此数列以 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…… 开头。

一个算例

要求 F(10)，就逐项相加往上推：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

所以 F(10) = 55。这十项之和为 143，最后两项之比 55 / 34 ≈ 1.6176，已经接近黄金比例 φ ≈ 1.6180339887。

数列、求和与黄金比例

n F(n) F(1)..F(n) 之和 F(n) / F(n-1)
5 5 12 1.6667
10 55 143 1.6176
15 610 1596 1.6181
20 6765 17710 1.6180

一个优美的恒等式：前 n 个斐波那契数之和等于 F(n+2) − 1。当 n = 10 时即为 F(12) − 1 = 144 − 1 = 143，与表中相符。

常见误区

  • 编号方式各有不同。 有些教科书从 F(0) = 0 开始。本工具采用 F(1) = 1、F(2) = 1，因此若要与基于 F(0) 的表格对照，请将下标平移一位。
  • 浮点数溢出。 用普通浮点数计算较大的斐波那契数，大约超过 F(78) 后就会损失精度。本计算器采用精确的大整数运算，因此 F(200)（一个 42 位的数）会被完整返回。
  • 黄金比例是极限，而非等式。 F(n) / F(n-1) 只是不断逼近 φ，对于有限的 n 永远不会正好相等。当 n 较小时，偏差相当明显。

常见问题

一串数字，其中每一项都是前两项之和，从 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…… 开始。它遍布于数学与自然之中，从叶片的排列到螺旋状的贝壳。

通过递推关系 F(n) = F(n-1) + F(n-2)。本工具以精确的大整数运算逐项迭代相加，因此即便是 F(200) 也能不经舍入地算出。

随着 n 增大，F(n) / F(n-1) 会收敛于黄金比例 φ ≈ 1.6180339887，这是该数列的一个基本性质，可由其闭式（比内公式）证明。

你输入的内容不会被保存或分享。该数字仅会发送到我们的服务器用于计算结果，在分步流程中，它也会出现在步骤之间的页面链接里。除此之外不会用于任何其他用途。

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