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椭圆计算器

步 1 / 3 面积
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椭圆是把圆沿一个方向拉伸后得到的卵形。它完全由两个数确定：半长轴（a），即最长的半宽；半短轴（b），即最短的半宽。输入这两个值，本计算器就会返回面积、周长（使用精确的拉马努金近似）、焦距 c，以及衡量卵形被拉伸程度的离心率。它适用于轨道、光学、椭圆跑道、花圃、机械零件，或者任何用它算 πab 比手算更快的几何问题。

椭圆各值是如何计算的

  1. 1

    输入半长轴（a）

    最长直径长度的一半，即从中心到曲线上最远点的距离。任何单位都可以；面积以该单位的平方返回，各长度以同一单位返回。

  2. 2

    输入半短轴（b）

    最短直径长度的一半。若 a 与 b 相等，椭圆就是一个圆，离心率结果为零。

  3. 3

    读取结果

    面积 = πab，周长使用拉马努金近似，焦距 c = √(a² − b²)，离心率 e = c / a。你输入时一切都会即时更新。

公式

半长轴为 a（较大的半轴）、半短轴为 b（较小的半轴）的椭圆具有以下性质：

  • 面积：A = π · a · b
  • 周长（拉马努金第一近似）：P ≈ π · [ 3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)) ]
  • 焦距：c = √(a² − b²)，即从中心到每个焦点的距离
  • 离心率：e = c / a，取值介于 0（圆）与略小于 1（非常扁的卵形）之间

椭圆的周长没有简单的精确公式，它是一个椭圆积分，因此本工具采用著名的拉马努金近似，即使对相当拉长的形状，精度也优于 0.04%。

计算示例

取半长轴 5、半短轴 3（即 a = 5，b = 3）。

  • 面积 = π × 5 × 3 = 47.1239
  • 周长 ≈ π × [ 3(5 + 3) − √((15 + 3)(5 + 9)) ] = π × [ 24 − √252 ] ≈ 25.5270
  • 焦距 c = √(5² − 3²) = √16 = 4.0000
  • 离心率 e = 4 / 5 = 0.8000

参考值

a b 面积 周长 焦距 c 离心率
5 5 78.5398 31.4159 0.0000 0.0000
5 3 47.1239 25.5270 4.0000 0.8000
6 4 75.3982 31.7309 4.4721 0.7454
10 2 62.8319 42.0112 9.7980 0.9798

需要避免的误区

  • 是半轴，不是整轴。 每个轴都用直径的一半。输入完整的宽和高会使面积偏大四倍。
  • a 必须是较大的那个。 焦距和离心率是相对较长的轴定义的；本工具会为你把 a 和 b 排好序，所以顺序无关紧要。
  • 圆是特殊情况。 当 a = b 时，焦距和离心率都为 0：这是正确的，不是错误。
  • 保持单位一致。 两个半轴都用厘米，面积就是 cm²，所有长度都是厘米。不要混用单位。

常见问题

半长轴（a）是椭圆最长直径的一半；半短轴（b）是最短直径的一半。如果你量的是卵形的完整宽度和高度，请先分别除以二，再输入到这里。

与面积不同，椭圆的精确周长无法用初等函数写出，它是一个椭圆积分。本计算器采用拉马努金第一近似，对常见形状精度优于 0.04%，比朴素的 π(a + b) 估计要接近得多。

离心率衡量椭圆被拉伸的程度，取值范围从 0 到接近 1。离心率为 0 是一个完美的圆；接近 1 的值描述又长又细、雪茄形状的卵形。它等于 c / a，即焦距除以半长轴。

不会。您输入的数字仅会发送到我们的服务器用于执行计算，不会被存储或与任何人共享。在分步引导的页面中，这两个数值也会随页面链接传递，以便下一步从您离开的地方继续。

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