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菱形问题求解器

步 1 / 3 菱形问题求解器

四个格子中只填两个，另外两个留空。 只填两个格子，另外两个留空。

下一步：答案类型

菱形问题是已知两个数的组合关系，反过来求这两个数的小练习：菱形上方放它们的积，下方放它们的和，左右两侧放这两个数本身。四个值中任意填入两个，求解器就会算出另外两个，画出完整的菱形并验算结果。它是二次三项式因式分解（例如 x² + 7x + 12，需要找两个积为 12、和为 7 的数）的经典热身题，与十字相乘法的思路相通。

如何解菱形问题

  1. 1

    只填写两个值

    在因数 a、因数 b、积和和中任选两项填写，另外两个框留空。可以输入负数和小数。

  2. 2

    选择答案类型

    选择任意数，或仅限整数。整数模式符合教材中的题目，若没有合适的整数，也会明确告诉你。

  3. 3

    查看菱形

    结果会用菱形图显示 a、b、积和和，并附上验算：a + b 是否等于和，a × b 是否等于积。

未知值是如何求出的

每个菱形都遵循两条规则：a + b = 和，a × b = 积。已知哪两个值，决定了使用哪种方法。

已知 求解器计算
a 和 b 积 = a × b，和 = a + b
a 和积 b = 积 ÷ a，再求和（a 不能为 0）
b 和积 a = 积 ÷ b，再求和（b 不能为 0）
a 和和 b = 和 − a，再求积
b 和和 a = 和 − b，再求积
积和和 解方程 x² − (和)x + 积 = 0

已知积和和：最难的情形

只知道积和和时，a 和 b 就是二次方程 x² − (和)x + 积 = 0 的两个根。判别式 和² − 4 × 积 决定了结果：

  • 为正且是完全平方数（7² − 4 × 12 = 1）：有两个整数答案，这里是 3 和 4。
  • 为正但不是完全平方数（3² − 4 × 1 = 5）：有两个非整数的实数答案，这里约为 0.382 和 2.618。在整数模式下，求解器会提示没有合适的整数。
  • 为零（2² − 4 × 1 = 0）：有重根，两个数相等（1 和 1）。
  • 为负（2² − 4 × 10 = −36）：不存在实数解。这两个数是一对共轭复数，这里是 1 + 3i 和 1 − 3i，求解器会如实说明，而不是报错。

例题

  • 积 12，和 7：a = 3，b = 4。
  • 积 −12，和 1：a = −3，b = 4。
  • a = 4，积 −20：b = −5，和 −1。
  • 整数模式下，积 6，和 5：a = 2，b = 3。

用菱形做因式分解

对于 x² + 7x + 12，把 12（常数项乘以首项系数）放在上方，7 放在下方。左右两侧的值 3 和 4 给出因式 (x + 3)(x + 4)。当首项系数不是 1 时，上方放首项系数与常数项的乘积，再用这两个数把一次项拆开。

常见问题

它是画成菱形、分成四个部分的小谜题。上方是两个数的积，下方是它们的和，左右两侧是这两个数。题目给出其中两部分，要求找出另外两部分。老师常用它帮助学生为三项式的因式分解打基础。

当和的平方小于积的四倍时，判别式为负，没有任何实数能同时满足你给出的和与积。此时这两个数是复数：求解器会把它们显示为一对共轭复数，例如 1 + 3i 和 1 − 3i，两者仍然满足和与积的条件。

它把答案限制为整数，大多数教材中的菱形问题都是这样出的。如果实数解含有分数或无理数，求解器会告诉你没有两个整数符合条件，同时仍然显示实数答案，让你明白原因。

因为另一个因数就是积除以 0。如果积不为 0，这样的数不存在；如果积为 0，任何数都成立，答案就不唯一。而已知因数 0 和和则没有问题：另一个因数就是和，积为 0。

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