向量叉积计算器
两个三维向量的叉积会得到第三个向量，它同时垂直于这两个向量。它的长度等于这两个向量所张成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则。因此它在三维图形的表面法线、物理中的力矩与角动量，以及任何需要垂直方向的几何问题中都不可或缺。输入向量 A 和 B 的各个分量，本工具就会在你输入时即时更新 A × B 的 (x, y, z) 结果以及它的模长。
如何计算叉积
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1
输入向量 A
输入第一个向量的三个分量 ax、ay 和 az。
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2
输入向量 B
输入第二个向量的三个分量 bx、by 和 bz。
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3
读取结果
垂直向量 A × B 以 (x, y, z) 的形式显示，并附上它的模长。
公式
对于向量 A = (ax, ay, az) 和 B = (bx, by, bz)，叉积为：
A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)
每个分量都是其余两个轴的 2×2 行列式，中间项的符号取反。一个实用的记忆方法是沿单位向量 i、j、k 展开行列式。
例题
取 A = (1, 2, 3) 和 B = (4, 5, 6)：
- x：ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
- y：az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
- z：ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3
所以 A × B = (−3, 6, −3)。它的模长为 √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7.348。你可以验证结果确实垂直：A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0。✓
关键性质
| 性质 | 表述 |
|---|---|
| 反交换性 | A × B = −(B × A) |
| 平行向量 | A × A = 0（任意平行向量对都得 0） |
| 模长 | |A × B| = |A| · |B| · sin(θ) |
| 垂直性 | (A × B) ⊥ A 且 (A × B) ⊥ B |
| 方向 | 由 A 指向 B 的右手定则 |
常见陷阱
- 顺序很重要。 交换两个向量会使每个分量的符号取反，因为叉积具有反交换性。
- 叉积只在三维中定义。 与点积不同，A × B 是为三维向量定义的（七维中存在类似运算，但极少使用）。对于二维向量，把缺失的 z 分量补为 0。
- 中间项的符号。 y 分量是 az·bx − ax·bz，而不是 ax·bz − az·bx：在行列式展开中 j 项是相减的，绝大多数手算错误都出在这里。
- 平行向量得零。 如果 A 和 B 指向同一方向（θ = 0），结果就是零向量，因为 sin(0) = 0。
常见问题
点积返回一个数（标量），衡量两个向量有多平行。叉积返回一个同时垂直于两者的向量，衡量它们有多垂直。二者回答的是相反的问题。
不能直接计算：叉积是为三维向量定义的。对于两个二维向量，你可以把 z 分量设为 0；此时结果只剩一个等于 ax·by − ay·bx 的 z 分量，常被称为“二维叉积”或有向面积。
模长等于这两个向量所张成的平行四边形的面积，同时也等于 |A| · |B| · sin(θ)，其中 θ 是它们之间的夹角。其一半就是由 A 和 B 构成的三角形的面积。
不会。各分量仅被发送到服务器以执行计算，绝不会存入数据库，也不会在页面关闭后保留。
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