组合计算器

公式

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

等价表达式：C(n，k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k！

工作示例

• C(10,3) = 120：从10种选项中选择3种配料的方法数。
• C(52,5) = 2,598,960：标准牌组中由5张牌组成的扑克手牌组合。
• C(49,6) = 13,983,816：英国国家彩票主抽奖的组合数。
• C(70,5) × 25 = 302,575,350：Mega Millions 头奖的组合数（从 70 个号码中选 5 个主球 + 从 25 个号码中选 1 个 Mega 球）。
• C(100,50) ≈ 1.01 × 10²⁹：从含 100 个元素的集合中选取一半元素的子集数。

组合与排列的区别

• 组合 C(n，k)：顺序无关紧要。选取 {A，B，C} 与 {C，B，A} 是相同的。
• 排列 P(n，k)：顺序至关重要。{A，B，C} 与 {C，B，A} 是不同的。
• 关系：P(n，k) = C(n，k) × k！

彩票抽奖结果为组合（球的排列顺序无关紧要）；比赛终点名次则为排列（第一、第二、第三名均具有重要性）。

帕斯卡三角形

当 C(n，k) 按照特定方式排列时，会形成帕斯卡三角形：

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

每个条目 C(n，k) 是其上方两个条目的和：C(n-1，k-1) + C(n-1，k)。对称性：C(n，k) = C(n，n-k)。

属性

• C(n，0) = C(n，n) = 1：表示仅存在一种选择方式（即不选任何选项或全选所有选项）。
• C(n，1) = n：选择一个项目的方式共有 n 种。
• 第 n 行之和：Σ C(n，k)（k 从 0 到 n）= 2ⁿ，即含 n 个元素集合的所有子集总数。
• 曲棍球棒恒等式：Σ C(i，k)（i 从 k 到 n）= C(n+1，k+1)。

实际应用

• 彩票中奖概率：抽中完全相同数字的概率为 1/C(n，k)。
• 抽样设计：从总体中选取测试组。
• 遗传学：统计可能的后代基因型。
• 赛程安排：循环赛制需进行 C(队伍数, 2) 场比赛。
• 二项分布：P(X = k) = C(n，k) × p^k × (1-p)^(n-k)。
• 委员会组建方式：从20名成员中选出5人组成委员会的方法 = C(20,5) = 15,504种。

大数值依然精确

结果增长很快：C(100,50) 已经有 30 位数字。计算器将 n 限制在 170，足以覆盖彩票、委员会、抽样等所有实际用途，并且由于采用任意精度整数运算而非浮点数，每个答案都保持精确。