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形心计算器

步 1 / 3 形心计算器

每个点按 x, y 的格式填写,小数点用英文句点。多边形请沿边界按顺序列出各顶点。

下一步

形心是图形的几何中心:用厚度均匀的薄板剪出该形状,它恰好能在针尖上保持平衡的那个点。输入各点的坐标,选择它们构成三角形、多边形还是一组点集,计算器就会以 (x, y) 的形式给出形心。对于三角形和多边形,还会给出面积,并绘出标有形心的图形,方便你直观地核对结果。

如何根据坐标求形心

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    输入各点

    每行写一个点,格式为 x, y,例如 6, 0。小数用英文句点,需要时可输入负数。多边形请沿边界按顺时针或逆时针顺序依次列出各顶点。

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    选择图形

    三个及以上按顺序排列的顶点选“多边形”,恰好三个顶点选“三角形”,想对任意数量的点取平均则选“点集”。

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    查看形心与图形

    结果页会显示形心的 x 和 y、三角形或多边形的面积、所用点的数量,以及标出形心的图形。点击“返回”可修改各点,点击“重新开始”可计算新的图形。

求形心的三种情形

“形心”的含义会因出发点不同而略有差别。本计算器处理以下三种常见情形。

三角形

三角形的形心就是三个顶点的平均值,也是三条中线的交点。设顶点为 (x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3):

Cx = (x1 + x2 + x3) / 3,Cy = (y1 + y2 + y3) / 3

形心位于每条中线上,距对应边三分之一处。面积等于两条边叉积绝对值的一半。

点集

对于单纯的一组点,形心就是 x 坐标的平均值与 y 坐标的平均值。由于没有轮廓,因此不给出面积。这与数据点云的均值、等质量质点的中心是同一个思路。

多边形(鞋带公式)

除三角形外,多边形的形心并不等于各顶点的平均值。计算器用鞋带公式(shoelace formula)沿各边累加。设 A 为有向面积,A = 1/2 * sum(xi * yi+1 - xi+1 * yi),则形心为:

Cx = 1 / (6A) * sum((xi + xi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Cy = 1 / (6A) * sum((yi + yi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

A 的正负取决于列出顶点的方向,但形心和所显示的面积不受影响。面积始终以正数显示。

算例

图形 各点 形心 面积
三角形 (0, 0), (6, 0), (0, 9) (2, 3) 27
正方形 (0, 0), (4, 0), (4, 4), (0, 4) (2, 2) 16
L 形 (0, 0), (6, 0), (6, 2), (2, 2), (2, 6), (0, 6) (2.2, 2.2) 20
点集 (0, 0), (4, 0), (4, 4), (0, 4), (2, 10) (2, 3.6) 无

什么样的输入有效

  • 每行恰好包含两个数。逗号、分号、空格和制表符都可以作为分隔符,点外面的括号会被忽略。
  • 多边形至少需要三个不同的顶点。可以在末尾重复第一个顶点,系统会自动去掉。
  • 轮廓不能自相交或自相接触。蝴蝶结形或八字形不是简单多边形,计算器会明确提示,而不是返回误导性的数值。
  • 所有点都在同一条直线上时不围成任何面积,因此三角形或多边形无法给出形心。
  • 最多 200 个点,坐标绝对值不超过十亿。结果保留六位小数。

小提示

  • 凹多边形的形心可能落在图形之外,例如细长的 U 形或 C 形。图形能把这一点展示得很清楚。
  • 如果形心看起来不对,请检查顶点顺序。若不沿边界、而是以之字形列出各个角点,轮廓就会自相交。
  • 形心与单位无关:结果的单位与你输入坐标所用的单位一致,面积则是该单位的平方。

常见问题

它是三个顶点的平均值:把 x 坐标相加再除以三,y 坐标同样处理。它也是三条中线的交点,并且始终位于三角形内部。

对于厚度和密度均匀的平面图形,是一回事。如果材料密度不均,质心会偏向较重的一侧,而形心作为纯几何意义上的点,位置保持不变。

鞋带公式只适用于边不相交也不相接触的简单多边形。如果顶点顺序错乱、轮廓呈蝴蝶结形,或者所有点都在同一条直线上,就不存在有效的面积和形心。请沿边界重新排列顶点后再试。

方向无所谓:顺时针和逆时针得到相同的形心与面积。但先后次序很重要,因为每个顶点都要与列表中相邻的顶点相连。

不会。你输入的坐标会发送到我们的服务器用于计算结果,并在你切换步骤时附加到页面链接中,方便收藏或分享这次计算。它们不会保存到任何账户或个人资料中。

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