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二项式展开计算器

步 1 / 3 二项式展开计算器

可输入整数、小数或分数（如 3/4），负数也可以。

下一步

输入 x 的系数、第二项以及 0 到 20 之间的整数幂次 n，计算器就会用二项式定理展开 (ax + b)^n；如果第二项带有自己的变量，则展开 (ax + by)^n。你会看到完整的展开式、列出每一项 C(n, k) a^(n-k) b^k 的表格、二项式系数所在的一行，以及通项。系数可以是整数、小数或分数，所有结果都是精确值，幂次再大也不会出现四舍五入误差。

如何展开二项式

  1. 1

    输入 a、b 和 n

    填写 x 的系数、第二项和幂次。可以用整数，也可以用 0.5 这样的小数或 3/4 这样的分数，负数同样适用。

  2. 2

    选择第二项

    展开 (ax + b)^n 就选普通数字，展开 (ax + by)^n 就选第二个变量。

  3. 3

    查看展开结果

    先显示展开式，接着是通项、二项式系数，以及列出每一项系数的表格。

二项式定理如何得到每一项

对于整数 n，二项式定理告诉我们：

(ax + b)^n = C(n, 0) (ax)^n + C(n, 1) (ax)^(n-1) b + ... + C(n, n) b^n

每一项用 k 编号，k 从 0 取到 n，通项为 C(n, k) a^(n-k) b^k x^(n-k)。如果有第二个变量，末尾再乘上 y^k。二项式系数 C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)，表示从 n 个元素中选出 k 个的方法数。计算器把 C(n, k)、a^(n-k) 和 b^k 按精确分数相乘，再约分。

杨辉三角（帕斯卡三角形）：a = b = 1 时的系数

n 二项式系数 C(n, k)
0 1
1 1, 1
2 1, 2, 1
3 1, 3, 3, 1
4 1, 4, 6, 4, 1
5 1, 5, 10, 10, 5, 1
6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

每个数等于它上方两数之和，每一行的和都是 2^n。

计算示例

  • (2x + 3)^4 = 16 x^4 + 96 x^3 + 216 x^2 + 216 x + 81。验算：令 x = 1，得 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 = 5^4。
  • (x - 2)^5 = x^5 - 10 x^4 + 40 x^3 - 80 x^2 + 80 x - 32。b 为负数时，各项符号交替出现。
  • (x/2 + 1)^3 = (1/8) x^3 + (3/4) x^2 + (3/2) x + 1。分数保持精确，不会变成四舍五入后的小数。

使用提示

  • 所有系数之和等于 (a + b)^n，可以用来快速检验手算的展开式。
  • 如果 a 或 b 为 0，有些项会消失。展开式中会省略这些项，表格里仍会列出，系数为 0。
  • 幂次为 0 时，结果恒为 1。
  • 小数会先转换成精确分数：0.25 按 1/4 处理。也可以输入用逗号作小数点的写法，如 0,5。
  • 计算器只支持 0 到 20 的整数幂次。分数幂和负数幂需要用到无穷二项级数，本工具不做这类计算。

常见问题

它是展开两项之和的整数次幂的法则。(a + b)^n 等于 k 从 0 取到 n 时 C(n, k) a^(n-k) b^k 之和。二项式系数 C(n, k) 就是杨辉三角第 n 行中的数。

幂次为 n 时共有 n + 1 项，对应 k 从 0 到 n。表格会列出全部各项。当 a 或 b 为 0 时，为 0 的项会被省略，所以展开式显示的项数更少。

可以。在 a 和 b 的输入框里填 3/4、0.75 或 -2 都行。小数会转换为精确分数，所以 0.1 按 1/10 处理，系数不会被四舍五入。

20 次幂的展开式已经有 21 项，系数多达几十位，差不多是一个页面能清晰展示的上限。在这个范围内，计算器使用精确的整数和分数运算。

不会。你输入的数值会发送到我们的服务器来计算展开式，并在你切换步骤时附加到页面链接中，方便收藏或分享结果。它们不会保存到任何账号或个人资料。

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