等差数列计算器

等差数列公式

等差数列在相邻两项之间有一个固定的间隔，即公差 d。两个公式即可完成全部计算：

第 n 项：a_n = a₁ + (n − 1) · d
求和：   S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

其中 a₁ 是首项，d 是每一步相加的数值（对于递减数列它可以为负），n 是你所计数的项数。求和公式不过是首项与末项的平均值，再乘以项数。

一个完整例子

取 a₁ = 2，d = 3。数列为 2、5、8、11、14、17、20、23、26、29 …

求第 10 项：

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

求前 10 项之和：

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

因此第 10 项是 29，累计和是 155。

项、公差与部分和

注意每一项恰好上升 d = 3，这正是等差（而非等比）数列的标志。部分和 Sₙ 比各项本身增长得更快，因为每一步加入的是整条累计的线，而不仅仅是最新的那个值。

快速验证：和等于项数乘以首项与末项的平均值。对 n = 10 而言，就是 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15.5 = 155，与表格完全吻合。

常见误区

• n 上的错位一项。 公式用的是 (n − 1)·d，而不是 n·d。首项没有加上任何公差，所以 a₁ = 2，而不是 5。
• 混淆等差与等比。 等差数列加上固定的公差 d；等比数列乘以固定的公比。如果你的间隔不断翻倍，那你需要的是等比数列工具。
• 负公差完全可以。 公差 d = −4 会给出一个递减数列；同样的公式依然适用。