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线性近似计算器

步骤 1 / 3 线性近似

用 x 作变量，用 ^ 表示乘方，函数的自变量要放在括号里。乘积可以写成 2x、3(x + 1) 或 2*x。 可以使用的函数和常数： sqrt, cbrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, pi, e

示例

下一步：点 a

这个线性近似计算器可以求出函数 f 在点 a 处的线性化，也就是切线 L(x) = f(a) + f’(a)(x - a)，并用它估算 a 附近某个 x 处的 f(x)。输入函数和点 a，如果想要近似值，再输入 x。你会得到代入数值后的 L(x) 及其斜截式、f(a) 和 f’(a) 的值、线性近似值和实际值、绝对误差和百分误差，以及分步计算过程，写法和微积分课上要求的一样。

如何求线性近似

  1. 1

    输入函数 f(x)

    用 x 作变量，例如 sqrt(x)、x^3 - 2x、ln(x)、sin(x)、e^x 或 1/x。乘方用 ^ 表示，函数的自变量放在括号里。

  2. 2

    输入点 a

    选一个容易算出 f 的点，比如 sqrt(x) 选 4，sin(x) 选 pi/6。计算器会先显示它读取到的函数，像把 e^(2x) 写成 e^2x 这样的笔误，在看到结果之前就能发现。

  3. 3

    填入要估算的 x（可选）

    选一个靠近 a 的 x，比如 4.1。如果只需要线性化，留空即可。

  4. 4

    查看 L(x)、近似值和误差

    结果给出点斜式和斜截式的 L(x)、f(a)、f'(a)、近似值 L(x)、实际值 f(x)、两种误差，以及计算过程的每一步。

线性化公式及其适用范围

函数 f 在 a 处的线性化，是过点 (a, f(a))、斜率与曲线在该点的斜率相同的那条直线：

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

在 a 附近，曲线和它的切线几乎重合，所以 L(x) 可以用来快速估算 f(x)。这就是切线近似，也叫线性近似、一次近似或一阶泰勒多项式。

例题：估算 sqrt(4.1)

  1. 取 f(x) = sqrt(x) 和 a = 4，这是离得最近、平方根又好算的点。
  2. 求函数值：f(4) = 2。
  3. 求导：f'(x) = 1/(2sqrt(x))，所以 f'(4) = 1/4 = 0.25。
  4. 写出直线：L(x) = 2 + 0.25(x - 4)，化成斜截式是 L(x) = 0.25x + 1。
  5. 估算：L(4.1) = 2 + 0.25(0.1) = 2.025。
  6. 比较：实际值是 sqrt(4.1) = 2.024846，所以绝对误差是 0.000154，百分误差约为 0.0076%。

常见的线性近似

函数 点 a 线性化 L(x) 近似值 实际值 绝对误差
sqrt(x) 4 2 + 0.25(x - 4) L(4.1) = 2.025 2.024846 0.000154
cbrt(x) 8 2 + (1/12)(x - 8) L(8.1) = 2.008333 2.008299 0.000034
ln(x) 1 x - 1 L(1.1) = 0.1 0.095310 0.004690
sin(x) 0 x L(0.1) = 0.1 0.099833 0.000167
e^x 0 1 + x L(0.1) = 1.1 1.105171 0.005171
1/x 2 0.5 - 0.25(x - 2) L(2.1) = 0.475 0.476190 0.001190

误差有多大？

线性近似的误差大约是 |f''(a)| / 2 × (x - a)^2。由此可以得出两点：

  • 距离的影响是平方级的。 对 sqrt(x) 在 a = 4 处的近似，x = 4.01 时误差是 0.0000016，x = 4.1 时是 0.000154，x = 4.5 时是 0.0037，x = 5 时是 0.0139。距离变成 10 倍，误差大约变成 100 倍。
  • 曲线的弯曲方向决定偏大还是偏小。 图像向下弯曲、切线在曲线上方的地方（sqrt(x)、ln(x)），近似值偏大。图像向上弯曲、切线在曲线下方的地方（e^x，以及 x 为正时的 1/x），近似值偏小。计算器会告诉你属于哪一种情况。

如何输入函数

想输入的内容 输入方式 说明
乘方 x^3、x^(1/2)、e^(2x) 指数只取紧跟其后的一项：e^2x 表示 (e^2)x。要输入 e^(2x) 请加括号。
乘积 2x、3(x + 1)、2sin(x)、x*ln(x) 因式并排写在一起就表示相乘。
开头的负号 -x^2 读作 -(x^2)。-x 的平方请输入 (-x)^2。
根式 sqrt(x)、cbrt(x) cbrt 是实数立方根，x 为负数时也能用。x^(1/3) 在 x 为负数时没有值，请改用 cbrt(x)；x^(2/3) 可以用 cbrt(x)^2 代替。
科学计数法 1e-3、2E5、1.5e+3 数字后面紧跟 e 和指数时，按 10 的幂读取：1e-3 就是 0.001。要表示 2 乘以常数 e，请写 2*e 或 2e^x。
对数 ln(x)、log(x) ln 是自然对数，log 是以 10 为底的常用对数。
三角函数 sin(x)、cos(x)、tan(x)、asin(x)、acos(x)、atan(x) 使用弧度。30 度请输入 pi/6。
其他 exp(x)、abs(x)、pi、e sin^2(x) 读作 (sin(x))^2。

小数点请用英文句点，例如 4.1、0.25。逗号既不能当小数点，也不能当千位分隔符，一千请输入 1000。用中文输入法打出的全角数字和全角括号（如 ４．１）也能正常读取，但中文句号不行。

无法线性化的点

  • 不在定义域内。 ln(x) 在 a = 0 处、sqrt(x) 在 a = -1 处、1/x 在 a = 0 处都没有函数值，切线也就没有可以相切的点。
  • 没有斜率。 abs(x) 在 0 处有一个折点，sqrt(x) 和 cbrt(x) 在 0 处的切线是竖直的。函数在这些点有值，但没有有限的导数，所以不存在线性化。计算器会说明这一点，并显示它尝试求值的导数。

常见问题

它们是同一个思想的两个名字。线性化指的是函数 L(x) = f(a) + f’(a)(x - a)，也就是 a 处切线的方程。线性近似指的是怎么用它：当 x 靠近 a 时，用 L(x) 作为 f(x) 的近似值。这个计算器两样都给出，既有直线方程，也有近似值。

用符号运算，法则和手算时一样：幂函数、乘积、商的求导法则和链式法则，再加上 sqrt、exp、ln、log、三角函数、反三角函数和 abs 的基本导数公式。然后把 a 代入这个导数，所以 f’(a) 不是数值估计，除了普通的浮点舍入之外是精确的。求出的导数会显示在计算过程中，只做了简单整理，没有完全化简，所以看起来可能和你自己的答案不同，但两者是相等的。

在这里，log(x) 是以 10 为底的常用对数，ln(x) 是自然对数，和大多数科学计算器上的按键一致。国内教材通常把常用对数写作 lg，本计算器不识别 lg，请改写成 log(x) 或 log10(x)。有些软件把 log 当作自然对数，所以请先确认题目指的是哪一种。函数里用到 log 时，计算器会在给出结果之前提醒你。

始终用弧度。微积分里的求导公式，比如 sin(x) 的导数是 cos(x)，只在弧度制下成立。要在 30 度处计算，请输入 a = pi/6，45 度则输入 pi/4。点 a 和 x 都可以填 pi/6、e 或 sqrt(2) 这样的常数。

没有固定的距离，这取决于曲线在 a 附近弯曲得有多厉害。误差随着到 a 的距离的平方增长，所以距离减半，误差大约只剩四分之一。填入你的 x，看看绝对误差和百分误差。如果误差对你的用途来说太大，就选一个离 x 更近的点 a。

要么函数在 a 处没有有限的值，比如 ln(x) 在 0 处或 1/x 在 0 处；要么有值但没有有限的斜率，比如 abs(x) 在 0 处（折点）或 sqrt(x) 在 0 处（竖直切线）。还有少数情况，比如 x*abs(x) 在 0 处，导数其实存在，但按法则算出来是 0/0，这时计算器会报告求不出斜率，而不会去猜一个值。改选附近的一个点就能解决这些问题。

数值以双精度计算，约 15 位有效数字，显示 7 位。等号表示数值完整显示，约等号表示经过了四舍五入。当 x 离 a 非常近，近似值和实际值在 15 位里几乎全部相同时，误差只显示有意义的那几位。

不会。你输入的函数和数字会发送到我们的服务器来计算结果，并且在各步骤之间切换时会加到页面链接里，方便你收藏或分享这次计算。它们不会保存到任何账户或个人资料中。

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