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超几何分布计算器

步 1 / 3 超几何概率

设定总体

计算全部对象的数量，以及其中符合成功条件的数量。抽取后不放回。请输入不带千位分隔符的整数。

下一步

从有限的总体中抽取对象而不放回时，每抽取一次，剩余对象的构成都会变化。本计算器可以求出成功次数恰好等于、至多或至少达到指定数量的概率。请输入总体大小、总体中的成功项数、样本大小和目标次数。结果还会显示可能范围、成功次数的期望值和方差，并提供包含每种可能成功次数精确概率的 CSV 文件。

如何使用超几何分布计算器

  1. 1

    统计总体

    输入对象总数 N 和其中被视为成功的对象数 K。N 必须为 1 到 1,000,000,000；K 可以为 0 到 N。

  2. 2

    确定样本

    输入不放回抽取的数量 n，范围为 0 到 N 与 1,000 两者中的较小值。

  3. 3

    设定目标和事件

    输入 0 到 n 之间的 k，然后选择成功次数恰好为 k、至多为 k 或至少为 k。

  4. 4

    查看或导出结果

    查看所选概率以及目标附近最多 15 种精确结果。下载 CSV 可获取所有可能结果及其概率的常用对数。

计算的含义

设 N 为总体大小，K 为总体中的成功项数，n 为抽取数量，X 为样本中的成功次数。抽样方式是不放回抽样：已经抽出的对象不会再参与下一次抽取。

成功次数恰好为 k 的概率为：

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

这里的 C(a, b) 表示从 a 个对象中选出 b 个的组合数。可能的成功次数仅在 max(0, n - (N - K)) 至 min(n, K) 之间。即使目标次数在零和样本大小之间，只要超出这个可能范围，恰好达到该目标的概率也是零。至多 k 将不超过 k 的各个精确概率相加；至少 k 将从 k 开始向上的各个精确概率相加。因此，当目标位于可能范围之外时，累积事件的概率可能为零或一。

示例：从 20 个对象中抽取 5 个

假设盒中有 20 个对象，其中 7 个带有标记。不放回地抽取 5 个，求恰好抽到 2 个带标记对象的概率。输入 N = 20、K = 7、n = 5、k = 2，并选择恰好 k 次。

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15,504 = 6,006 / 15,504 ≈ 0.387384.

约为 38.74%。改选至多 k 次可得到 P(X ≤ 2) ≈ 0.793215；改选至少 k 次可得到 P(X ≥ 2) ≈ 0.594169。这两个累积事件都包含恰好抽到 2 个的情况。

抽到的带标记对象数 恰好抽到该数量的概率
0 0.083011
1 0.322820
2 0.387384
3 0.176084
4 0.029347
5 0.001354

期望值、方差与二项分布的区别

成功次数的期望值为 n × K / N。当 N > 1 时，方差为 n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1)；当 N = 1 时，方差为零。最后一项体现了每次抽取后剩余总体构成的变化。

R 的超几何分布文档介绍了对应的精确概率函数和累积分布函数。

如果各次试验相互独立、成功概率相同，例如每次抽取后将对象放回，应使用二项分布。如果从有限总体中固定抽取若干个对象且不放回，则应使用超几何分布。本计算器接受整数输入，并在浏览器中计算分布。分步操作会在当前标签页临时保存输入；换用其他标签页或保存期结束后，可能需要重新开始。

对于极小但不为零的概率，普通十进制数无法完整表示，页面可能显示小于 10^-300。CSV 还包含每种可能结果的概率常用对数，便于查看其数量级。

常见问题

指你选择统计的结果，例如盒中带标记的对象或一批产品中的次品，并不表示该结果一定是好事。

有些目标不可能发生。例如抽取五个对象，但总体中只有一个带标记对象，就不可能恰好抽到两个带标记对象。结果会显示完整的可能范围，方便核对目标。

包含。至少 k 次表示 X 大于或等于 k。至多 k 次同样包含恰好 k 次。如果只想求这一种结果，请选择恰好 k 次。

文件列出所有可能的样本成功次数、各自的精确概率以及概率的常用对数。页面表格最多显示目标附近的 15 种结果。

总体最多可包含 1,000,000,000 个对象。样本最多为 1,000 个，且不能大于总体。四个计数都必须是整数，输入时不要使用千位分隔符。

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