三次方程求解器
三次方程的一般形式为 ax³ + bx² + cx + d = 0，在复数域上总是具有三个根。输入四个系数后，求解器将根据卡尔达诺公式返回相应结果：当判别式非正时有三个实根；判别式为正时有一个实根和一对共轭复根；判别式等于零时则呈现双根情况。
求解器如何找到根
-
1
输入系数
四个数：a、b、c、d。首项系数 a 必须不为零，否则该方程属于二次方程而非三次方程。
-
2
缺项三次方程
求解器将方程平移 -b/(3a) 以消去二次项，从而得到 `t³ + pt + q = 0` 的形式。
-
3
判别检验
Δ = (q/2) ² + (p/3) ³ 决定根的分布情况： Δ > 0时存在一个实根； Δ = 0时存在一个重根； Δ < 0时通过三角函数可求得三个实根。
-
4
向后移动
在t空间中找到的每个根点均按-b/(3a)进行平移以恢复x值。求解器会在适用情况下按降序返回这些根点。
判别式的情形及其含义
Cardano算法根据判别式 Δ =(q/2) ² +(p/3) ³ 的符号，选择三条分支之一进行运算。三次图的几何结构与此完全对应。
案例表
| 判别式 | 根 | 图形形状 |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1个实数，2个复共轭数 | 与x轴相交一次 |
| Δ = 0 | 3个实数，且至少有两个相等 | 在x轴处与双根点相切 |
| Δ < 0 | 存在三个不同的实根 | 与x轴相交三次 |
示例
对于 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0（系数分别为 1、−6、11、−6）：
- 平移 −b/(3a) = 2 得到缺项形式：p = −1，q = 0。
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0，因此采用三实根（三角函数）路径。
- 三角公式得出三个不同的实根 x = 1、2、3。
数值方面的考量
- 当三个根值彼此接近时（即近三重根情况），会出现浮点误差。显示的根值在最后几位小数位上可能与精确值存在差异。
- 极小的 a 值会使 b/(3a) 值增大，这会主导计算过程并降低精度。若
|a|的值低于约 1e-12，则应改用二次方程进行求解。 - 整数系数可获得最精确的结果：有理根将以其精确值呈现（仅保留小数点后的位数）。
相关方程
- 二次方程：
ax² + bx + c = 0。请使用二次方程求解器（闭式解法，更简便）。 - 四次方程：
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0。法拉利方法可化为一个预解三次方程；此处未涵盖。 - 缺项三次方程：将 b 设为 0 以跳过平移步骤，直接输入
x³ + px + q = 0。
常见问题
该方程已不再为三次方程。此时求解器将无法继续处理，请切换至bx² + cx + d = 0的二次方程求解器。
在这种情况下，求解器会返回唯一的实根。另外两个根是复共轭对，Cardano公式可将其以闭合形式给出；若需要符号表达式，请将它们计算为 -x1/2 ± (√3/2) × i × 模。
Cardano方法的数值实现由于浮点运算舍入效应，可能产生量级为1e-15的残差。所有小于1e-10的值均视为实数；该求解器已针对 Δ <0分支自动过滤掉这些残差。
四个系数仅会发送到服务器用于计算根，不会被存储。使用分步视图时，系数也会出现在页面链接中。
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