Softonic

三次方程求解器

步 1 / 3 求解 ax³ + bx² + cx + d = 0
下一步

三次方程的一般形式为 ax³ + bx² + cx + d = 0，在复数域上总是具有三个根。输入四个系数后，求解器将根据卡尔达诺公式返回相应结果：当判别式非正时有三个实根；判别式为正时有一个实根和一对共轭复根；判别式等于零时则呈现双根情况。

求解器如何找到根

  1. 1

    输入系数

    四个数：a、b、c、d。首项系数 a 必须不为零，否则该方程属于二次方程而非三次方程。

  2. 2

    缺项三次方程

    求解器将方程平移 -b/(3a) 以消去二次项，从而得到 `t³ + pt + q = 0` 的形式。

  3. 3

    判别检验

    Δ = (q/2) ² + (p/3) ³ 决定根的分布情况： Δ > 0时存在一个实根； Δ = 0时存在一个重根； Δ < 0时通过三角函数可求得三个实根。

  4. 4

    向后移动

    在t空间中找到的每个根点均按-b/(3a)进行平移以恢复x值。求解器会在适用情况下按降序返回这些根点。

判别式的情形及其含义

Cardano算法根据判别式 Δ =(q/2) ² +(p/3) ³ 的符号，选择三条分支之一进行运算。三次图的几何结构与此完全对应。

案例表

判别式 根 图形形状
Δ > 0 1个实数，2个复共轭数 与x轴相交一次
Δ = 0 3个实数，且至少有两个相等 在x轴处与双根点相切
Δ < 0 存在三个不同的实根 与x轴相交三次

示例

对于 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0（系数分别为 1、−6、11、−6）：

  • 平移 −b/(3a) = 2 得到缺项形式：p = −1，q = 0。
  • Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0，因此采用三实根（三角函数）路径。
  • 三角公式得出三个不同的实根 x = 1、2、3。

数值方面的考量

  • 当三个根值彼此接近时（即近三重根情况），会出现浮点误差。显示的根值在最后几位小数位上可能与精确值存在差异。
  • 极小的 a 值会使 b/(3a) 值增大，这会主导计算过程并降低精度。若 |a| 的值低于约 1e-12，则应改用二次方程进行求解。
  • 整数系数可获得最精确的结果：有理根将以其精确值呈现（仅保留小数点后的位数）。

相关方程

  • 二次方程：ax² + bx + c = 0。请使用二次方程求解器（闭式解法，更简便）。
  • 四次方程：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0。法拉利方法可化为一个预解三次方程；此处未涵盖。
  • 缺项三次方程：将 b 设为 0 以跳过平移步骤，直接输入 x³ + px + q = 0。

常见问题

该方程已不再为三次方程。此时求解器将无法继续处理，请切换至bx² + cx + d = 0的二次方程求解器。

在这种情况下，求解器会返回唯一的实根。另外两个根是复共轭对，Cardano公式可将其以闭合形式给出；若需要符号表达式，请将它们计算为 -x1/2 ± (√3/2) × i × 模。

Cardano方法的数值实现由于浮点运算舍入效应，可能产生量级为1e-15的残差。所有小于1e-10的值均视为实数；该求解器已针对 Δ <0分支自动过滤掉这些残差。

四个系数仅会发送到服务器用于计算根，不会被存储。使用分步视图时，系数也会出现在页面链接中。

相关工具

代谢计算器

根据年龄、性别、体重、身高及活动水平，估算您的基础代谢率（BMR）和每日总能量消耗（TDEE）。

板条护墙间距计算器

根据墙面宽度、净间距、板条实际宽度、锯缝和备用比例，规划室内板条护墙的中心线及竖向板条用料。

陶土收缩率计算器

测量陶土干燥和烧成的线收缩，预测烧成尺寸，或由目标尺寸反算新鲜成形尺寸。

泳池循环泵流量计算器

根据泳池容积和循环周期计算所需过滤流量，或用实际流量核算循环时间，支持m³和m³/h。

加价率计算器

根据成本、售价、加价率三项中的任意两项，计算加价率、毛利率与售价。含加价率与毛利率对照表。

每小时换气次数计算器

根据房间尺寸和风量计算每小时换气次数（ACH），或按您输入的目标 ACH 计算所需的 CFM 或 m³/h。

此工具还提供其他语言版本