抛物线计算器

步 1 / 3 抛物线计算器

请输入 y = ax² + bx + c 的三个系数。a 的值不能为零。

a（x² 前面的数）

b（x 前面的数）

c（常数项）

写成 y = ax² + bx + c 的抛物线，最有用的几个数值其实藏在式子里：它在哪里转向、与坐标轴在哪里相交、焦点和准线在什么位置。输入三个系数，本计算器就会给出顶点、对称轴、焦点、准线、y 轴截距、实数 x 轴交点，以及开口向上还是向下，并附一张小图像，方便你直观核对形状。

抛物线计算器使用方法

1

输入 a、b、c

a 是 x² 的系数，b 是 x 的系数，c 是常数项。a 不能为 0，否则曲线就变成了直线。
2

选择小数位数

结果可选保留 2 位、4 位或 6 位小数。四舍五入只影响数字的显示方式。
3

查看结果和图像

你会得到一般式和顶点式方程、关键的点和直线，以及标出顶点、焦点、准线和对称轴的图像。

各项结果的含义

对于 a ≠ 0 的 y = ax² + bx + c，所有结果都来自三个量：顶点横坐标 h = -b / (2a)、顶点纵坐标 k = c - b² / (4a) 和焦距 p = 1 / (4a)。

结果	公式	含义
顶点	(h, k)	转折点：a > 0 时是最低点，a < 0 时是最高点
对称轴	x = h	使抛物线与自身重合的竖直直线
焦点	(h, k + p)	位于曲线内侧，所有反射光线都经过的点
准线	y = k - p	与顶点的距离等于焦点到顶点的距离，位于顶点另一侧的水平线
y 轴交点	(0, c)	曲线与 y 轴相交的位置
x 轴交点	(-b ± √D) / (2a)	与 x 轴相交的位置，其中 D = b² - 4ac

计算示例

方程	顶点	焦点	准线	x 轴交点
y = x² - 2x - 3	(1, -4)	(1, -3.75)	y = -4.25	x = -1 和 x = 3
y = -2x² + 4x + 1	(1, 3)	(1, 2.875)	y = 3.125	x ≈ -0.2247 和 x ≈ 2.2247
y = x² + 2x + 1	(-1, 0)	(-1, 0.25)	y = -0.25	仅 x = -1
y = x² + 1	(0, 1)	(0, 1.25)	y = 0.75	无
y = 0.5x²	(0, 0)	(0, 0.5)	y = -0.5	仅 x = 0

如何看 x 轴交点

判别式 D = b² - 4ac 为正时，抛物线与 x 轴有两个交点。
D 等于 0 时，顶点落在 x 轴上，抛物线只与 x 轴相切，所以只有一个交点。
D 为负时，没有实数交点。计算器会如实说明，不会凭空给出复数。

适用范围

本计算器处理开口向上或向下的抛物线，也就是 y = ax² + bx + c 所描述的那一类。形如 x = ay² + by + c 的横向抛物线不在支持范围内。
系数必须是 -1,000,000 到 1,000,000 之间的数，并且 a 的绝对值不能小于 0.000001。

常见问题

横坐标用 h = -b / (2a)，再把 h 代回方程得到纵坐标 k = c - b² / (4a)。对于 y = x² - 2x - 3，h = 1，k = -4，所以顶点是 (1, -4)。

设 p = 1 / (4a)，则焦点是点 (h, k + p)，准线是直线 y = k - p。开口向上时 p 为正，焦点在顶点上方，准线在下方；开口向下时则正好相反。抛物线上的每个点到焦点的距离都等于它到准线的距离。

当 a = 0 时，x² 项消失，y = bx + c 就是一条直线，没有顶点、焦点和准线。请输入不为 0 的 a，才能得到抛物线。

说明判别式 b² - 4ac 为负，抛物线始终碰不到 x 轴。它的开口背离 x 轴，比如开口向上且顶点在 x 轴上方。y 轴交点、顶点、焦点和准线仍然会显示。

不会。三个系数会发送到我们的服务器用于计算结果，在你切换步骤时也会附加到页面链接中，方便把这次计算存为书签或分享给别人。它们不会保存到任何账号或个人资料中。

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