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特征多项式计算器

步 1 / 3 特征多项式计算器
矩阵阶数
矩阵元素

可输入整数、小数（如 0.25）或分数（如 -3/4）。请填满每个格子。

下一步：多项式形式

方阵 A 的特征多项式是 det(A - λI)，它是关于 λ 的多项式，其根就是 A 的特征值。填入 2 × 2、3 × 3 或 4 × 4 矩阵，本计算器会给出系数精确的多项式、迹和行列式；对于 2 × 2 和 3 × 3 矩阵，还会给出实特征值。

如何求特征多项式

  1. 1

    选择阶数并填写表格

    选择 2 × 2、3 × 3 或 4 × 4，然后把每个元素填成整数、0.25 这样的小数，或 -3/4 这样的分数。

  2. 2

    选择形式

    可选教材中常用的 det(A - λI)，也可选首项系数恒为 1 的首一形式 det(λI - A)。对于 2 × 2、4 × 4 这样的偶数阶矩阵，两者得到的多项式相同。

  3. 3

    查看多项式

    结果会显示多项式、系数表，以及你所输入矩阵的迹和行列式。

  4. 4

    核对特征值

    对于 2 × 2 和 3 × 3 矩阵，会列出各个实根及其重数。4 × 4 矩阵只给出精确的多项式。

特征多项式能告诉你什么

对于 n × n 矩阵 A，多项式 det(λI - A) 的形式为：

λⁿ - (trace A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

因此其中两个系数很容易读出：第二项系数是迹（主对角线元素之和）的相反数，常数项在相差符号 (-1)ⁿ 的前提下等于行列式。多项式的根就是 A 的特征值，根之和等于迹，根之积等于行列式。根据凯莱-哈密顿定理，A 本身也满足这个多项式：把矩阵 A 代入 λ，得到的是零矩阵。

系数是怎样算出来的

本计算器采用法捷耶夫-勒维耶递推。从单位矩阵出发，按 Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I 依次构造矩阵序列 M₁, M₂, ...，并按 cₙ₋ₖ = -trace(A·Mₖ) / k 取得各个系数。所有元素会先转换成精确分数，所以系数是精确的整数或分数，而不是四舍五入后的小数。

例题（3 × 3）

设 A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]]，则迹为 2 + 3 + 9 = 14，行列式为 2·(3·9 - 4·4) = 22。多项式为：

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

它可以分解为 (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11)，所以特征值是 1、2 和 11。若采用 det(A - λI) 形式，由于阶数为奇数，各项符号全部取反：-λ³ + 14λ² - 35λ + 22。

示例（2 × 2）

矩阵 A 特征多项式 实特征值
[[2, 1], [1, 2]] λ² - 4λ + 3 1 和 3
[[1, 2], [3, 4]] λ² - 5λ - 2 5.372281 和 -0.372281
[[2, 1], [0, 2]] λ² - 4λ + 4 2（重数为 2）
[[0, -1], [1, 0]] λ² + 1 无（一对共轭复数）

本计算器不能做的事

  • 只支持 2 × 2、3 × 3 和 4 × 4 三种阶数。
  • 元素最多 9 位数字，小数最多 6 位小数，不支持科学计数法。
  • 特征值以四舍五入到 6 位小数的小数形式给出，仅限 2 × 2 和 3 × 3 矩阵，且只给实特征值。复特征值和特征向量不予显示。

常见问题

对于 n × n 矩阵，两者相差一个因子 (-1)ⁿ。2 × 2 和 4 × 4 矩阵的结果完全相同；3 × 3 矩阵的结果符号相反，但根，也就是特征值，是一样的。许多教材使用 det(A - λI)，而软件和部分课程使用首一形式 det(λI - A)。

因为计算是精确的。如果矩阵中含有分数或小数，系数通常就是分数，显示 5/6 比显示 0.8333 更准确。元素全为整数的矩阵，系数一定是整数。

本页会给出 4 × 4 矩阵精确的特征多项式，但不解四次方程。你可以手工或借助求根工具对多项式进行分解，从而得到特征值。对于 2 × 2 或 3 × 3 矩阵，实特征值会直接列出。

重特征值只列出一次，并标明重数。例如矩阵 [[2, 1], [0, 2]] 的多项式是 (λ - 2)²，结果显示为 λ = 2（重数为 2）。

不会。相似矩阵（例如 A 与 P⁻¹AP）具有相同的特征多项式，所以它可以很好地充当线性映射的“指纹”。不过，特征多项式相同的两个矩阵不一定相似。

不会。你输入的元素会发送到我们的服务器用于计算结果，并在你切换步骤时附加到页面链接中，方便你收藏或分享这次计算。它们不会保存到任何账号或个人资料中。

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